Współczynnik zmienności - wzór, interpretacja i obliczanie w Excelu

Odchylenie standardowe mówi, jak bardzo wyniki rozrzucone są wokół średniej, ale tylko w jednostkach danej cechy. Nie odpowie na pytanie, czy badani bardziej różnią się wzrostem, czy masą ciała, bo nie da się porównać centymetrów z kilogramami. Do takich porównań służy współczynnik zmienności, który wyraża rozproszenie jako procent średniej.

Poniżej znajdziesz wzór, przykład policzony krok po kroku na przykładowych danych, warunki, przy których współczynnik zmienności ma sens, oraz umowne progi interpretacji i ich ograniczenia. Na koniec: obliczenie w Excelu i zapis w pracy.

Współczynnik zmienności - co to jest

Współczynnik zmienności (oznaczany V, CV lub V_s, z ang. coefficient of variation) to względna miara rozproszenia. Pokazuje, jaką część średniej stanowi odchylenie standardowe. Jest liczbą niemianowaną, zwykle podawaną w procentach, dlatego pozwala porównywać zróżnicowanie:

• cech mierzonych w różnych jednostkach, na przykład wzrostu w centymetrach i masy ciała w kilogramach,
• tej samej cechy w grupach o bardzo różnym poziomie średniej, na przykład wynagrodzeń na stanowiskach młodszych i kierowniczych.

Inne miary rozproszenia, czyli rozstęp, wariancja, odchylenie standardowe i rozstęp międzykwartylowy, są mianowane: mają jednostki badanej cechy (wariancja w jednostkach do kwadratu). Ich zestawienie znajdziesz we wpisie statystyka opisowa w pracy dyplomowej.

Współczynnik zmienności - wzór

klasyczny współczynnik zmienności: V = (s / x̄) · 100%
s - odchylenie standardowe, x̄ - średnia arytmetyczna
pozycyjny współczynnik zmienności: V_Q = (Q / Mdn) · 100%, gdzie Q = (Q₃ - Q₁) / 2

W pracach dyplomowych prawie zawsze chodzi o wersję klasyczną. Wersja pozycyjna, oparta na odchyleniu ćwiartkowym i medianie, przydaje się przy rozkładach silnie skośnych, gdy sama średnia jest złym opisem typowego wyniku. Kwartyle i odchylenie ćwiartkowe wyjaśnia tekst o kwartylach i rozstępie międzykwartylowym.

W liczniku zwykle stoi odchylenie standardowe z próby, czyli z mianownikiem n - 1. Część podręczników statystyki opisowej używa odchylenia z mianownikiem n, traktując dane jak całą zbiorowość. Dla 10 osób różnica jest zauważalna (w przykładzie niżej 17,83% wobec 16,92%), przy 200 osobach znika. Wybierz jedną wersję i stosuj ją konsekwentnie.

Przykład: wzrost czy masa ciała - co bardziej różnicuje grupę

Przykładowe dane: 10 dorosłych osób zmierzono i zważono. Wzrost (cm): 162, 165, 168, 170, 171, 173, 175, 178, 180, 183. Masa ciała (kg): 55, 58, 63, 66, 70, 72, 76, 82, 88, 95. Obliczenia krok po kroku:

1. Średni wzrost: 1 725 / 10 = 172,5 cm. Suma kwadratów odchyleń od średniej wynosi 398,5, więc wariancja s² = 398,5 / 9 = 44,28, a odchylenie standardowe s = 6,65 cm.
2. Współczynnik zmienności wzrostu: 6,65 / 172,5 · 100% = 3,86%.
3. Średnia masa ciała: 725 / 10 = 72,5 kg. Suma kwadratów odchyleń wynosi 1 504,5, wariancja 1 504,5 / 9 = 167,17, odchylenie standardowe 12,93 kg.
4. Współczynnik zmienności masy ciała: 12,93 / 72,5 · 100% = 17,83%.

Odchylenia standardowe (6,65 cm i 12,93 kg) nie dają się porównać, bo mają różne jednostki. Współczynniki zmienności tak: masa ciała jest w tej grupie zróżnicowana względnie ponad 4,5 razy silniej niż wzrost. Wynik nie zależy od jednostek. Gdybyś przeliczył wzrost na cale, współczynnik zmienności nadal wyniósłby 3,86%, bo zmiana jednostki mnoży średnią i odchylenie przez tę samą liczbę.

Porównanie tej samej cechy w dwóch grupach

Drugie typowe zastosowanie to porównanie grup o różnym poziomie średniej. Przykładowe dane: miesięczne wynagrodzenia brutto 10 osób na stanowiskach specjalistycznych (grupa A) i 10 osób na stanowiskach kierowniczych (grupa B).

Odchylenie standardowe w grupie B jest dwa razy większe, więc łatwo napisać, że wynagrodzenia kierowników są bardziej zróżnicowane. W złotówkach tak jest. Względnie jest odwrotnie: rozrzut wynosi 8,92% średniej u kierowników i 11,58% u specjalistów. Która odpowiedź jest właściwa, zależy od pytania badawczego. Jeśli interesuje Cię różnica w kwotach, porównujesz SD. Jeśli interesuje Cię, jak bardzo zarobki odbiegają od typowego poziomu w danej grupie, porównujesz współczynniki zmienności.

Wersja pozycyjna przy rozkładach skośnych

Klasyczny współczynnik dziedziczy wady średniej i odchylenia standardowego: przy silnej skośności oba rosną z powodu kilku skrajnych wyników. Przykładowe dane: liczba dni zwolnienia lekarskiego w ciągu roku u 120 pracowników, średnia 8,23 dnia, odchylenie standardowe 9,41 dnia, mediana 5,5 dnia, Q₁ = 2, Q₃ = 11. Klasyczny współczynnik zmienności wynosi 9,41 / 8,23 · 100% = 114,39%. Odchylenie ćwiartkowe to (11 - 2) / 2 = 4,5 dnia, więc pozycyjny współczynnik zmienności wynosi 4,5 / 5,5 · 100% = 81,82%.

Obie liczby mówią o bardzo dużym zróżnicowaniu, ale opisują co innego. Wersja klasyczna obejmuje wszystkie wyniki, łącznie z jedną osobą, która miała 61 dni zwolnienia. Wersja pozycyjna opisuje środkową połowę grupy i jest odporna na takie przypadki. Jeśli zmienną opisujesz medianą i kwartylami, do porównań zróżnicowania użyj wersji pozycyjnej, a w tekście zaznacz, którą liczysz.

Kiedy współczynnik zmienności ma sens

Współczynnik zmienności dzieli przez średnią, więc wymaga, żeby średnia miała prawdziwy punkt zerowy. W praktyce oznacza to trzy warunki:

• Zmienna jest mierzona na skali ilorazowej, czyli ma naturalne zero: masa, wzrost, czas, dochód, liczba wizyt. Co odróżnia ją od skali interwałowej, wyjaśnia wpis o skalach pomiarowych.
• Zmienna przyjmuje tylko wartości nieujemne, a średnia jest dodatnia.
• Średnia nie jest bliska zera. Gdy zbliża się do zera, współczynnik rośnie bez ograniczeń i przestaje cokolwiek mówić.

Przykładowe dane pokazują, co się dzieje przy skali interwałowej. Osiem pomiarów temperatury: 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28°C. Średnia wynosi 23°C, odchylenie standardowe 3,34°C, a współczynnik zmienności 14,51%. Te same pomiary w stopniach Fahrenheita dają współczynnik 8,19%, a w kelwinach 1,13%. Rozrzut fizycznie jest ten sam, a wynik zależy od tego, gdzie ktoś umownie postawił zero. Na skali Celsjusza współczynnik zmienności po prostu nie ma interpretacji.

Ten sam problem dotyczy wyników kwestionariuszy. Przykładowe dane: średnia satysfakcji z pracy na skali Likerta 1-5 wynosi 3,54 przy SD = 0,76, co daje V = 21,47%. Po przekodowaniu odpowiedzi na 0-4 odchylenie się nie zmienia, średnia spada do 2,54, a współczynnik rośnie do 29,92%. Dane są identyczne, zmienił się tylko sposób kodowania. Dlatego dla wyników skal kwestionariuszowych, różnic „po minus przed” i zmiennych standaryzowanych współczynnika zmienności nie licz. Do opisu rozproszenia wystarczy tam odchylenie standardowe.

Współczynnik zmienności - interpretacja i progi

Interpretacja samej liczby jest prosta: V = 17,83% oznacza, że odchylenie standardowe stanowi niecałe 18% średniej. Im wyższy współczynnik, tym bardziej niejednorodna jest grupa pod względem danej cechy.

Trudniej z progami „małej” i „dużej” zmienności, bo nie ma jednego standardu. Materiały edukacyjne Głównego Urzędu Statystycznego podają umownie, że jeśli współczynnik nie przekracza 10%, cecha wykazuje niewielkie zróżnicowanie, a zbiorowość uznaje się za jednorodną. Inne materiały dydaktyczne stosują wyższe granice, rozciągając niewielkie zróżnicowanie nawet do 35%. To konwencje, a nie wynik teorii statystycznej.

W pracy dyplomowej bezpieczniej jest:

• interpretować współczynnik zmienności porównawczo, czyli w zestawieniu z inną cechą lub inną grupą, jak w przykładach wyżej,
• jeśli używasz progów, podać ich źródło i zaznaczyć, że mają charakter umowny,
• pamiętać, że „normalny” poziom zmienności zależy od cechy: wzrost dorosłych zawsze będzie mniej zróżnicowany niż dochody czy liczba dni zwolnienia lekarskiego.

Współczynnik zmienności to miara opisowa. Nie mówi, czy różnica zmienności między grupami jest istotna statystycznie. Do porównania samego rozproszenia w grupach służą inne narzędzia, na przykład test Levene'a, który porównuje wariancje, a nie współczynniki zmienności.

Współczynnik zmienności w Excelu

Excel nie ma osobnej funkcji na współczynnik zmienności, ale wystarczy jedna formuła. Jeśli dane masz w komórkach B2:B11:

• wersja z odchyleniem z próby: =ODCH.STANDARD.PRÓBKI(B2:B11)/ŚREDNIA(B2:B11),
• wersja z odchyleniem dla całej zbiorowości: =ODCH.STAND.POPUL(B2:B11)/ŚREDNIA(B2:B11),
• wynik sformatuj jako procent (Narzędzia główne, format Procentowy) albo pomnóż formułę przez 100.

Dla danych z przykładu pierwsza formuła zwraca 0,1783 dla masy ciała, czyli 17,83%. W SPSS i jamovi współczynnika zmienności zwykle nie znajdziesz w standardowej tabeli statystyk opisowych, więc najprościej policzyć go ze średniej i odchylenia standardowego podanych przez program. W R wystarczy sd(x) / mean(x) * 100.

Jak zapisać współczynnik zmienności w pracy

Współczynnik zmienności podaje się razem ze średnią i odchyleniem standardowym, z których powstał. W tabeli wystarczy dodatkowa kolumna V (%) obok M i SD, z jednym miejscem po przecinku albo, przy małych próbach, w liczbach całkowitych. Zasady formatowania tabel opisuje tekst jak zbudować tabelę wyników w APA 7. Przykładowy opis:

Masa ciała badanych była zróżnicowana względnie silniej niż wzrost: współczynnik zmienności wyniósł 17,8% dla masy ciała (M = 72,50 kg, SD = 12,93) i 3,9% dla wzrostu (M = 172,50 cm, SD = 6,65).

Jeśli promotor zapyta, dlaczego nie porównujesz po prostu odchyleń standardowych, odpowiedź brzmi: cechy mają różne jednostki albo różne poziomy średniej, więc odchylenia nie są porównywalne, a współczynnik zmienności sprowadza je do wspólnej, względnej skali.

Typowe błędy

• Liczenie współczynnika zmienności dla wyników skal kwestionariuszowych, temperatur w stopniach Celsjusza albo zmian „przed-po”, które mogą być ujemne.
• Interpretowanie współczynnika powyżej 100% jako błędu. Przy silnie skośnych zmiennych, na przykład liczbie hospitalizacji, odchylenie może przekraczać średnią i współczynnik wynosi wtedy ponad 100%.
• Podawanie progów interpretacji bez źródła, jakby były uniwersalne.
• Mieszanie odchylenia z próby i dla całej zbiorowości w jednej tabeli.
• Wnioskowanie o istotności różnic zmienności z samego porównania dwóch współczynników.
• Mylenie odchylenia standardowego z błędem standardowym przy liczeniu współczynnika. Różnicę wyjaśnia wpis odchylenie standardowe a błąd standardowy.

Średnie, odchylenia standardowe i pozostałe statystyki opisowe dla wszystkich zmiennych zawiera raport z wyliczenia automatycznego, a zestaw analiz do swoich hipotez wybierzesz w kreatorze wyceny.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć współczynnik zmienności?

Podziel odchylenie standardowe przez średnią i pomnóż przez 100%. Na przykład przy średniej 72,5 kg i odchyleniu 12,93 kg współczynnik wynosi 12,93 / 72,5 · 100% = 17,83%. W Excelu użyj formuły =ODCH.STANDARD.PRÓBKI(zakres)/ŚREDNIA(zakres) i formatu procentowego.

Jaki współczynnik zmienności jest dobry?

Nie ma jednej granicy. Materiały GUS przyjmują umownie, że do 10% zróżnicowanie jest niewielkie, ale inne źródła stosują wyższe progi. Najlepiej interpretować współczynnik porównawczo i podawać źródło progów, jeśli ich używasz.

Czy współczynnik zmienności może być większy niż 100%?

Tak. Dzieje się tak, gdy odchylenie standardowe przekracza średnią, co jest typowe dla silnie prawostronnie skośnych zmiennych, takich jak dochód czy liczba dni zwolnienia. Taki wynik oznacza bardzo duże zróżnicowanie, a nie błąd obliczeń.

Czy można liczyć współczynnik zmienności dla skali Likerta?

Nie jest to zalecane. Skala Likerta nie ma naturalnego zera, więc wynik zależy od kodowania: te same odpowiedzi zakodowane jako 1-5 i 0-4 dają różne współczynniki. Rozproszenie wyników kwestionariusza opisuj odchyleniem standardowym.

Czym jest współczynnik zmienności CV?

CV to angielski skrót od coefficient of variation, czyli tej samej miary, którą w polskich podręcznikach oznacza się zwykle literą V. Oba zapisy oznaczają stosunek odchylenia standardowego do średniej wyrażony w procentach.