Skale pomiarowe: nominalna, porządkowa, interwałowa i ilorazowa

Poziom pomiaru zmiennej przesądza o tym, jakie statystyki wolno policzyć i jaki test zastosować. Zanim wybierzesz test t, korelację czy chi-kwadrat, musisz wiedzieć, czy Twoja zmienna to kategorie bez porządku, kategorie uporządkowane, czy liczby z równymi odstępami. Błąd na tym etapie przenosi się na całą analizę, a recenzenci wyłapują go bardzo szybko.

Ten tekst opisuje cztery skale pomiarowe według podziału Stevensa, pokazuje przykłady i dozwolone operacje dla każdej z nich, wyjaśnia, czym jest zmienna dychotomiczna, i zestawia, co z tego wynika dla wyboru testu.

Skale pomiarowe Stevensa

Podział, którego używa się do dziś, zaproponował psycholog Stanley Smith Stevens w artykule opublikowanym w 1946 roku w czasopiśmie „Science”. Stevens zdefiniował pomiar jako przypisywanie liczb obiektom według reguł i wyróżnił cztery skale: nominalną, porządkową, interwałową i ilorazową. Każda wyższa skala ma wszystkie własności niższej i dodaje jedną nową.

Najważniejsze w podejściu Stevensa jest pojęcie dozwolonych przekształceń. Skala określa, jak można zmienić liczby, nie tracąc informacji. Od tego zależy, które statystyki mają sens: miara jest dozwolona, jeśli jej wniosek nie zmienia się po dozwolonym przekształceniu danych.

• Na skali nominalnej liczby można dowolnie zamienić na inne, byle różnym kategoriom odpowiadały różne kody.
• Na skali porządkowej wolno stosować każde przekształcenie zachowujące kolejność, na przykład zamienić kody 1, 2, 3 na 10, 20, 50.
• Na skali interwałowej wolno tylko przekształcenie liniowe y = a + bx (b dodatnie), jak przeliczenie stopni Celsjusza na Fahrenheita.
• Na skali ilorazowej wolno tylko mnożyć przez dodatnią stałą, y = bx, jak przy zamianie kilogramów na funty.

Skala nominalna

Skala nominalna to kategorie, które tylko się różnią. Nie da się ich uporządkować ani policzyć odległości między nimi. Przykłady: płeć, kierunek studiów, województwo, grupa krwi, rodzaj placówki. Kody liczbowe w bazie danych (1 = wieś, 2 = miasto) są tu etykietami. Równie dobrze można by użyć liter.

Jedyna dozwolona operacja to sprawdzenie, czy dwa obiekty należą do tej samej kategorii. Opisujesz je liczebnościami, procentami i dominantą, a związek z inną zmienną kategorialną badasz w tabeli krzyżowej testem chi-kwadrat.

Skala porządkowa

Skala porządkowa dodaje kolejność. Wiadomo, która kategoria jest wyżej, ale nie wiadomo, o ile. Przykłady: wykształcenie (podstawowe, średnie, wyższe), stopień zaawansowania choroby, miejsce w rankingu, ocena w skali od „zdecydowanie nie” do „zdecydowanie tak”. Odstęp między wykształceniem podstawowym a średnim nie musi być taki sam jak między średnim a wyższym.

Dozwolone są porównania „większy-mniejszy”, a więc mediana, kwartyle, percentyle i wszystkie metody oparte na rangach: korelacja Spearmana, test U Manna-Whitneya, test Kruskala-Wallisa. Średnia formalnie nie jest dozwolona, bo przekształcenie zachowujące kolejność może zmienić jej wynik. Opis takich zmiennych medianą i rozstępem międzykwartylowym pokazuje tekst o kwartylach i IQR.

Skala interwałowa

Skala interwałowa (przedziałowa) ma równe odstępy, ale jej zero jest umowne. Różnica 10 stopni oznacza to samo przy 0°C i przy 30°C, ale 0°C nie oznacza braku temperatury, tylko punkt zamarzania wody. Przykłady: temperatura w stopniach Celsjusza lub Fahrenheita, rok kalendarzowy, wyniki standaryzowane testów psychologicznych (wyniki na skali stenowej czy tenowej, iloraz inteligencji).

Na skali interwałowej sens mają różnice, więc liczysz średnią, odchylenie standardowe, korelację Pearsona, test t i ANOVA. Sensu nie mają ilorazy. Zdanie „20°C to dwa razy cieplej niż 10°C” jest fałszywe: w kelwinach to 293,15 wobec 283,15, czyli stosunek 1,035, a nie 2. Podobnie osoba z IQ 140 nie jest „dwa razy inteligentniejsza” od osoby z IQ 70.

Skala ilorazowa

Skala ilorazowa (stosunkowa) ma równe odstępy i naturalne, bezwzględne zero, które oznacza brak cechy. Przykłady: wiek, wzrost, masa ciała, czas reakcji, dochód, liczba hospitalizacji, liczba papierosów dziennie, temperatura w kelwinach. Tu wolno mówić o ilorazach: osoba ważąca 90 kg jest 1,5 raza cięższa od ważącej 60 kg, niezależnie od tego, czy liczysz w kilogramach, czy w funtach.

Dozwolone są wszystkie operacje i statystyki, łącznie z tymi, które dzielą przez średnią lub wymagają zera: współczynnik zmienności, średnia geometryczna, logarytmowanie danych, porównania procentowe typu „czas skrócił się o 20%”.

Skala interwałowa a ilorazowa

W praktyce analizy danych obie skale traktuje się podobnie i łącznie nazywa zmiennymi ilościowymi (metrycznymi). Testy t, ANOVA, regresja liniowa i korelacja Pearsona działają tak samo dla temperatury w °C i dla masy ciała. Różnica ma znaczenie w trzech sytuacjach:

• gdy chcesz porównywać ilorazy lub zmiany procentowe („dwa razy więcej”, „wzrost o 30%”), co ma sens tylko na skali ilorazowej,
• gdy liczysz współczynnik zmienności, który na skali interwałowej daje różne wyniki zależnie od położenia zera,
• gdy logarytmujesz dane, na przykład przy prawostronnie skośnym dochodzie. Logarytm wymaga wartości dodatnich, a te mają sens interpretacyjny tylko przy naturalnym zerze.

Rozpoznanie jest proste: zadaj pytanie, czy wartość 0 oznacza brak cechy. Zero kilogramów to brak masy, więc masa jest na skali ilorazowej. Zero punktów w kwestionariuszu stresu nie oznacza braku stresu, tylko najniższy wynik możliwy w tym narzędziu, więc takiej skali nie traktuje się jak ilorazowej.

Tabela: dozwolone operacje i statystyki

Każda skala dziedziczy statystyki skal niższych. Dla wieku możesz więc podać medianę i procenty w przedziałach wiekowych, ale dla płci nie możesz podać średniej. Kierunek w dół jest zawsze możliwy, choć oznacza utratę informacji: wiek w latach da się zamienić na grupy wiekowe, odwrotnie już nie.

Zmienna dychotomiczna

Zmienna dychotomiczna ma dokładnie dwie kategorie: palący lub niepalący, zdany lub niezdany egzamin, wystąpienie powikłań lub ich brak, odpowiedź tak lub nie. To szczególny przypadek zmiennej nominalnej, ale z ważną własnością praktyczną. Gdy zakodujesz ją jako 0 i 1, średnia jest po prostu odsetkiem jedynek. Przykładowe dane: jeśli wśród 40 osób 14 pali (kod 1), średnia wynosi 14 / 40 = 0,35, czyli 35% palących.

Dzięki temu zmienne dychotomiczne można stosować w wielu metodach przeznaczonych dla zmiennych ilościowych:

• jako predyktor w regresji liniowej, gdzie współczynnik pokazuje różnicę średnich między dwiema grupami,
• w korelacji ze zmienną ilościową, gdzie r Pearsona dla zmiennej 0/1 nazywa się korelacją punktowo-dwuseryjną,
• jako zmienna zależna w regresji logistycznej, która modeluje prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia,
• jako zmienna grupująca w teście t albo teście U Manna-Whitneya.

Odróżniaj dychotomie naturalne od sztucznych. Naturalna to cecha, która z natury ma dwie wartości. Sztuczna powstaje przez podział zmiennej ilościowej, na przykład „wynik powyżej mediany” i „poniżej mediany”. Taki podział wyrzuca większość informacji o różnicach między osobami i zmniejsza moc testu, więc stosuj go tylko wtedy, gdy wymaga tego pytanie badawcze albo przyjęta norma kliniczna.

Co wynika ze skali dla doboru testu

Wybór testu zależy przede wszystkim od skali zmiennej zależnej i od tego, ile grup lub zmiennych porównujesz. Uproszczona ściąga:

Skala to warunek konieczny, ale nie jedyny. Przy zmiennych ilościowych trzeba jeszcze sprawdzić założenia, takie jak rozkład wyników i jednorodność wariancji. Szczegółowe porównanie dwóch najczęstszych dróg znajdziesz w tekstach test t czy Mann-Whitney oraz korelacja Pearsona czy Spearmana, a cały wybór krok po kroku przeprowadzi Cię darmowy przewodnik „Który test wybrać?”.

Skala Likerta: porządkowa czy ilościowa

Najwięcej sporów dotyczy skal kwestionariuszowych. Pojedyncza pozycja typu „zdecydowanie się nie zgadzam - zdecydowanie się zgadzam” jest formalnie porządkowa, bo nikt nie wie, czy odstęp między „raczej tak” a „zdecydowanie tak” jest równy pozostałym. Wynik sumaryczny lub średnia z kilkunastu pozycji ma jednak wiele możliwych wartości i rozkład zbliżony do ciągłego, dlatego w praktyce badawczej zwykle traktuje się go jak zmienną ilościową i analizuje testem t czy korelacją Pearsona. Jak taki wskaźnik policzyć, opisuje wpis o skali Likerta.

Podział Stevensa ma też krytyków. Velleman i Wilkinson (1993) pokazali, że ścisłe przypisywanie statystyk do skal bywa mylące, bo poziom pomiaru zależy także od pytania, jakie zadajesz danym, a nie tylko od samych liczb. W pracy dyplomowej nie musisz rozstrzygać tego sporu. Wystarczy jasno napisać, jak traktujesz daną zmienną i dlaczego.

Typowe błędy

• Średnia z kodów zmiennej nominalnej, na przykład „średnie województwo = 7,4”.
• Korelacja Pearsona ze zmienną nominalną o więcej niż dwóch kategoriach, na przykład z kodami kierunków studiów 1-5. Wynik zależy wtedy od przypadkowej kolejności kodów.
• Średnia z pojedynczej pozycji porządkowej podana bez mediany i rozkładu odpowiedzi.
• Stwierdzenia ilorazowe na skali interwałowej, na przykład „wynik w teście wzrósł dwukrotnie” dla skali bez naturalnego zera.
• Dzielenie zmiennej ilościowej na grupy bez uzasadnienia, tylko po to, żeby użyć chi-kwadrat.
• Brak informacji o poziomie pomiaru zmiennych w rozdziale metodologicznym.

Jak opisać poziom pomiaru w pracy

W rozdziale metodologicznym, przy opisie zmiennych i narzędzi, podaj poziom pomiaru każdej zmiennej użytej w hipotezach. To naturalna część operacjonalizacji zmiennych. Przykładowe zdania:

Płeć i miejsce zamieszkania potraktowano jako zmienne nominalne, a wykształcenie jako zmienną porządkową. Wiek i staż pracy mierzono w latach (skala ilorazowa). Wynik ogólny kwestionariusza, obliczony jako średnia z 12 pozycji, potraktowano jako zmienną ilościową, zgodnie z praktyką przyjętą dla wskaźników sumarycznych.

Takie zdania od razu uzasadniają wybór testów w rozdziale wyników i zamykają najczęstsze pytanie recenzenta.

Najczęstsze pytania

Czym różni się skala interwałowa od ilorazowej?

Obie mają równe odstępy między wartościami, ale tylko skala ilorazowa ma naturalne zero oznaczające brak cechy. Dlatego na skali ilorazowej (wiek, masa, czas) można mówić, że coś jest dwa razy większe, a na interwałowej (temperatura w °C) nie. W testach statystycznych obie traktuje się zwykle tak samo.

Jakie są skale pomiarowe Stevensa?

Stevens w 1946 roku wyróżnił cztery skale: nominalną, porządkową, interwałową i ilorazową. Każda kolejna ma własności poprzedniej i dodaje nową: kolejność, równe odstępy, a na końcu naturalne zero. Od skali zależy, jakie statystyki i testy są dozwolone.

Co to jest zmienna dychotomiczna?

To zmienna o dokładnie dwóch kategoriach, na przykład tak/nie, palący/niepalący, zdany/niezdany. Kodowana jako 0 i 1 ma tę własność, że jej średnia jest odsetkiem jedynek. Można jej używać jako predyktora w regresji, zmiennej zależnej w regresji logistycznej albo zmiennej grupującej w teście t.

Czy skala Likerta jest porządkowa?

Pojedyncza pozycja skali Likerta jest formalnie porządkowa. Wynik sumaryczny lub średnia z wielu pozycji jest w praktyce badawczej zwykle traktowany jak zmienna ilościowa. W pracy napisz, jak traktujesz daną zmienną, i dobierz do tego statystyki.

Jaka jest skala pomiarowa wieku?

Wiek mierzony w latach jest na skali ilorazowej, bo ma naturalne zero, a różnice i ilorazy mają sens. Gdy w ankiecie pytasz o przedziały wiekowe (na przykład 18-25, 26-35), otrzymujesz zmienną porządkową.