Kwartyle i rozstęp międzykwartylowy (IQR) - wzory, interpretacja i Excel

Kwartyle pojawiają się w pracy dyplomowej częściej, niż się wydaje: w opisie zmiennych porządkowych, przy rozkładach skośnych, w wykresie pudełkowym i przy wykrywaniu wartości odstających. Zwykle nie sprawiają kłopotu, dopóki student nie policzy ich w Excelu, a promotor w SPSS i nie wyjdą dwie różne liczby. Obie mogą być poprawne, bo istnieje kilka metod wyznaczania kwartyli.

Ten tekst wyjaśnia, czym są kwartyle i percentyle, pokazuje wzory i różnice między metodami na małym zbiorze danych, a potem przechodzi do rozstępu międzykwartylowego: jak go interpretować, jak użyć go do wykrywania wartości odstających i jak zapisać medianę z IQR w pracy.

Kwartyle - co to jest

Kwartyle to trzy wartości, które dzielą uporządkowane wyniki na cztery części o mniej więcej równej liczebności. Pierwszy kwartyl (Q₁) to wartość, poniżej której leży około 25% wyników. Drugi kwartyl (Q₂) to mediana, czyli wartość środkowa. Trzeci kwartyl (Q₃) oddziela 75% wyników niższych od 25% najwyższych.

Kwartyle należą do miar pozycyjnych: nie zależą od wszystkich wartości tak jak średnia, tylko od tego, które wyniki stoją na określonych miejscach w szeregu. Dlatego jeden skrajny wynik prawie ich nie przesuwa. To ich największa zaleta przy danych skośnych i przy zmiennych porządkowych, dla których średnia nie ma sensu.

Percentyle i decyle

Kwartyle są szczególnym przypadkiem percentyli. Percentyl P_k to wartość, poniżej której leży k% wyników. Pierwszy kwartyl to 25. percentyl, mediana to 50. percentyl, a trzeci kwartyl to 75. percentyl. Decyle dzielą wyniki na dziesięć części: pierwszy decyl to 10. percentyl, dziewiąty decyl to 90. percentyl.

Percentyle przydają się przy normach testów psychologicznych i siatkach centylowych w pediatrii (wynik na 90. centylu oznacza, że 90% dzieci w grupie odniesienia ma wynik niższy) oraz przy opisie skrajnych grup, na przykład 10% osób o najwyższym poziomie stresu. W typowej pracy dyplomowej wystarczają jednak kwartyle.

Kwartyle - wzory

Każda metoda zaczyna tak samo: wyniki porządkujesz rosnąco, od x₍₁₎ do x_(n), i szukasz pozycji, na której leży kwartyl. Metody różnią się tym, jak tę pozycję liczą. Dwie najczęściej spotykane wyglądają tak (p = 0,25 dla Q₁ i p = 0,75 dla Q₃):

metoda „wyłączająca” (SPSS, Excel KWARTYL.PRZEDZ.OTW): pozycja = p · (n + 1)
metoda „włączająca” (Excel KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK, domyślna w R): pozycja = 1 + p · (n - 1)
gdy pozycja = k + d (k całkowite, d ułamek): Q = x_(k) + d · (x_(k+1) - x_(k))

Jeśli pozycja wypada między dwoma wynikami, kwartyl leży na odcinku między nimi, proporcjonalnie do części ułamkowej. To zwykła interpolacja liniowa. Trzecia popularna metoda, tak zwane zawiasy Tukeya, w ogóle nie interpoluje: Q₁ to mediana dolnej połowy wyników, a Q₃ mediana górnej połowy. W części podręczników opisuje się ją po prostu jako medianę każdej połowy danych.

Hyndman i Fan (1996) opisali dziewięć różnych definicji kwantyli z próby stosowanych w programach statystycznych. Żadna nie jest „jedynie słuszna”. Przy dużych próbach różnice są pomijalne, przy kilkunastu obserwacjach potrafią być wyraźne.

Przykład: trzy metody, trzy wyniki

Przykładowe dane: 10 studentów podało, ile godzin tygodniowo uczy się poza zajęciami. Uporządkowane wyniki: 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 25. Mediana nie budzi wątpliwości: (7 + 8) / 2 = 7,5 godziny. Z kwartylami jest inaczej.

1. Metoda wyłączająca (SPSS, KWARTYL.PRZEDZ.OTW). Pozycja Q₁ = 0,25 · 11 = 2,75, więc Q₁ = 4 + 0,75 · (5 - 4) = 4,75. Pozycja Q₃ = 0,75 · 11 = 8,25, więc Q₃ = 11 + 0,25 · (14 - 11) = 11,75.
2. Metoda włączająca (KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK, R). Pozycja Q₁ = 1 + 0,25 · 9 = 3,25, więc Q₁ = 5 + 0,25 · (6 - 5) = 5,25. Pozycja Q₃ = 1 + 0,75 · 9 = 7,75, więc Q₃ = 9 + 0,75 · (11 - 9) = 10,5.
3. Zawiasy Tukeya. Dolna połowa to 2, 4, 5, 6, 7, jej mediana wynosi 5. Górna połowa to 8, 9, 11, 14, 25, jej mediana wynosi 11.

Ten sam zbiór dziesięciu liczb daje rozstęp międzykwartylowy od 5,25 do 7 godzin, zależnie od metody. Przy wyższych percentylach różnice rosną: 90. percentyl wynosi 23,9 godziny metodą wyłączającą i 15,1 godziny metodą włączającą, bo pierwsza mocniej „sięga” w stronę skrajnego wyniku 25. Wniosek dla pracy jest prosty: liczby z różnych programów nie muszą się zgadzać, a w opisie metod wystarczy jedno zdanie o tym, jakim programem liczono statystyki.

Rozstęp międzykwartylowy (IQR)

Rozstęp międzykwartylowy (ang. interquartile range, IQR) to różnica między trzecim a pierwszym kwartylem:

IQR = Q₃ - Q₁
odchylenie ćwiartkowe: Q = (Q₃ - Q₁) / 2

IQR mówi, jak szeroki jest przedział, w którym mieści się środkowe 50% wyników. W polskich podręcznikach statystyki opisowej spotkasz też odchylenie ćwiartkowe, czyli połowę IQR, interpretowane jako przeciętne zróżnicowanie wyników wokół mediany. W pracach z nauk społecznych i medycznych częściej podaje się sam IQR albo wprost oba kwartyle.

Przewaga IQR nad odchyleniem standardowym ujawnia się przy wynikach skrajnych. W przykładzie z godzinami nauki odchylenie standardowe wynosi 6,57 godziny. Po usunięciu jednego wyniku (25 godzin) spada do 3,67, czyli o 44%. IQR liczony metodą SPSS zmienia się z 7 na 5,5 godziny, czyli o 21%, a mediana z 7,5 na 7. Średnia w tym czasie spada z 9,1 na 7,33.

Rozstęp międzykwartylowy - interpretacja

Interpretacja IQR jest dosłowna. Zapis Mdn = 7,5, IQR = 7 (metoda SPSS) oznacza, że połowa studentów uczy się mniej, a połowa więcej niż 7,5 godziny tygodniowo, a środkowa połowa grupy mieści się w przedziale od 4,75 do 11,75 godziny. Im większy IQR, tym bardziej zróżnicowana jest typowa część grupy, z pominięciem po 25% wyników najniższych i najwyższych.

Kilka wskazówek przy czytaniu IQR:

• IQR ma te same jednostki co dane, więc porównujesz go między grupami tylko dla tej samej zmiennej. Do porównania zróżnicowania cech o różnych jednostkach służy współczynnik zmienności.
• Położenie mediany wewnątrz przedziału Q₁-Q₃ mówi o asymetrii. W przykładzie mediana (7,5) leży bliżej Q₁ (4,75) niż Q₃ (11,75), co wskazuje na prawostronną skośność środkowej części rozkładu.
• Dla rozkładu normalnego IQR wynosi około 1,35 odchylenia standardowego. Jeśli w Twoich danych IQR jest dużo mniejszy niż 1,35 · SD, odchylenie standardowe zawyżają pojedyncze skrajne wyniki.
• IQR = 0 jest możliwy. Gdy ponad połowa osób wybrała tę samą odpowiedź, oba kwartyle są równe i rozstęp wynosi zero, choć dane nie są identyczne.

Reguła 1,5 IQR i wartości odstające

Najbardziej znane zastosowanie IQR pochodzi od Tukeya (1977), autora wykresu pudełkowego. Granice, poza którymi wynik uznaje się za odstający, wyznacza się tak:

dolna granica = Q₁ - 1,5 · IQR
górna granica = Q₃ + 1,5 · IQR
wyniki skrajne: poza Q₁ - 3 · IQR lub Q₃ + 3 · IQR

W przykładzie z metodą SPSS górna granica wynosi 11,75 + 1,5 · 7 = 22,25, a dolna 4,75 - 10,5 = -5,75. Wynik 25 godzin przekracza górną granicę, więc jest odstający. Metodą włączającą granica wynosi 10,5 + 1,5 · 5,25 = 18,375, więc wniosek jest ten sam. Granica dla wyników skrajnych (3 · IQR) to odpowiednio 32,75 i 26,25, więc 25 godzin nie jest wynikiem skrajnym w żadnym wariancie. Przy wynikach leżących blisko granicy metoda liczenia kwartyli może jednak zdecydować, czy obserwacja zostanie oznaczona.

Reguła 1,5 IQR to umowna konwencja, a nie test statystyczny. Oznacza wyniki do sprawdzenia, a nie do automatycznego usunięcia. Co zrobić z takim wynikiem, opisuje tekst o tym, jak wykryć wartości odstające i co z nimi zrobić. Na wykresie pudełkowym te same granice wyznaczają końce „wąsów”, a punkty poza nimi rysowane są osobno. Szczegóły odczytu znajdziesz we wpisie jak czytać wykres pudełkowy.

Mediana i IQR w opisie zmiennych porządkowych i skośnych

Mediana z rozstępem międzykwartylowym to standardowy opis zmiennej, dla której średnia z odchyleniem standardowym wprowadza w błąd. Dotyczy to dwóch sytuacji.

Pierwsza to zmienne porządkowe, na przykład pojedyncza pozycja skali Likerta. Przykładowe dane: 120 pacjentów oceniło jakość obsługi w skali 1-5. Odpowiedzi 1 udzieliło 6 osób, 2 - 14 osób, 3 - 30 osób, 4 - 46 osób, 5 - 24 osoby. Mediana wynosi 4, Q₁ = 3, Q₃ = 4, więc IQR = 1. Zapis „Mdn = 4 (IQR: 3-4)” mówi czytelnikowi, że co najmniej połowa pacjentów wybrała odpowiedź 4 lub 5.

Druga to zmienne ilościowe wyraźnie skośne: dochód, czas hospitalizacji, liczba dni zwolnienia lekarskiego. Przykładowe dane dla 120 pracowników, liczba dni zwolnienia w ciągu roku:

Odchylenie standardowe jest tu większe od średniej, a średnia o prawie 3 dni wyższa od mediany. Gdyby czytać zapis „M = 8,23, SD = 9,41” jak opis rozkładu normalnego, wychodziłoby, że spora część osób ma ujemną liczbę dni zwolnienia, co jest niemożliwe. Mediana z IQR opisuje dane uczciwie: połowa pracowników była na zwolnieniu nie dłużej niż 5,5 dnia, a środkowa połowa mieści się między 2 a 11 dniami. Reguła 1,5 IQR oznacza 8 osób z wynikiem powyżej 24,5 dnia, co przy takim rozkładzie jest naturalne i nie świadczy o błędzie w danych. Szerzej o wyborze miary pisze wpis średnia, mediana czy dominanta.

Kwartyle i rozstęp międzykwartylowy w Excelu i programach statystycznych

W polskim Excelu masz dwie funkcje kwartyli. Drugi argument to numer kwartyla (1 lub 3, a 2 daje medianę):

• =KWARTYL.PRZEDZ.OTW(A2:A11;1) i =KWARTYL.PRZEDZ.OTW(A2:A11;3) dają wyniki zgodne z SPSS (4,75 i 11,75 w przykładzie).
• =KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK(A2:A11;1) i =KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK(A2:A11;3) dają wyniki zgodne z domyślnym ustawieniem R (5,25 i 10,5). Starsza funkcja KWARTYL liczy tak samo.
• Rozstęp międzykwartylowy w Excelu to po prostu różnica: =KWARTYL.PRZEDZ.OTW(A2:A11;3)-KWARTYL.PRZEDZ.OTW(A2:A11;1). Osobnej funkcji IQR nie ma.
• Percentyle liczysz analogicznie funkcjami PERCENTYL.PRZEDZ.OTW i PERCENTYL.PRZEDZ.ZAMK, podając drugi argument jako ułamek, na przykład 0,9.

Wersja „OTW” przy bardzo małych próbach i skrajnych percentylach zwraca błąd, bo pozycja wypada poza zakresem danych. To nie usterka, tylko konsekwencja wzoru. W SPSS kwartyle podaje procedura Częstości (opcja Kwartyle w Statystykach), a procedura Eksploracja pokazuje obok siebie dwa wiersze: średnią ważoną (metoda wyłączająca) i zawiasy Tukeya. W R funkcja quantile(x, type = 6) odtwarza wynik SPSS, a domyślne type = 7 odpowiada KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK. Zanim zaczniesz liczyć, upewnij się, że dane w arkuszu są liczbami, a nie tekstem; zasady porządkowania danych opisuje wpis o tym, jak przygotować dane w Excelu do analizy.

Jak zapisać kwartyle i IQR w pracy

W stylu APA 7 medianę oznacza się symbolem Mdn, a rozstęp międzykwartylowy skrótem IQR. Spotyka się dwa poprawne zapisy: sam IQR albo oba kwartyle w nawiasie. Ten drugi jest bardziej informatywny, bo pokazuje położenie środkowej połowy wyników, a nie tylko jej szerokość.

Liczba dni zwolnienia lekarskiego w ciągu roku miała rozkład prawostronnie skośny (skośność = 2,34), dlatego opisano ją medianą i rozstępem międzykwartylowym: Mdn = 5,50 dnia, IQR = 9,00 (Q₁ = 2,00, Q₃ = 11,00).

W tabeli z wieloma zmiennymi wygodny jest format „Mdn (Q₁-Q₃)”, na przykład „5,50 (2,00-11,00)”, z wyjaśnieniem w notce pod tabelą. Gdy porównujesz grupy testem nieparametrycznym, mediany i kwartyle w grupach są naturalnym uzupełnieniem wyniku testu. Pełny zestaw miar opisowych i ich miejsce w rozdziale empirycznym omawia tekst statystyka opisowa w pracy dyplomowej.

Jeśli promotor zapyta, dlaczego Twój kwartyl różni się od jego wyniku z innego programu, odpowiedź brzmi: programy stosują różne, równie poprawne definicje kwartyli z próby, a raport podaje wartości z jednego programu konsekwentnie w całej pracy.

Typowe błędy

• Mieszanie metod: kwartyle z Excela w jednej tabeli, a z SPSS w drugiej.
• Podawanie mediany z odchyleniem standardowym albo średniej z IQR. Miary łączy się w pary: średnia z SD, mediana z IQR.
• Zapis „IQR = 4,75-11,75”. To są kwartyle, a IQR to jedna liczba, ich różnica.
• Usuwanie każdego wyniku spoza granic 1,5 IQR bez sprawdzenia, czy to błąd, czy prawdziwa wartość.
• Kwartyle liczone ręcznie z danych nieuporządkowanych.
• Interpretowanie IQR = 0 jako braku zróżnicowania, choć w skrajnych kategoriach mogą być osoby z bardzo różnymi odpowiedziami.

Mediany, kwartyle i statystyki opisowe wszystkich zmiennych, liczone tą samą metodą co w SPSS, zawiera każdy raport z wyliczenia automatycznego. Analizy dobierzesz do swoich hipotez w kreatorze wyceny.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć rozstęp międzykwartylowy?

Uporządkuj wyniki rosnąco, wyznacz pierwszy i trzeci kwartyl, a następnie odejmij Q1 od Q3. W Excelu wystarczy różnica dwóch funkcji KWARTYL.PRZEDZ.OTW (albo KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK) z argumentem 3 i 1. Osobnej funkcji IQR w Excelu nie ma.

Dlaczego Excel i SPSS dają różne kwartyle?

Bo stosują różne definicje kwartyla z próby. SPSS domyślnie liczy pozycję jako p(n + 1), tak samo jak KWARTYL.PRZEDZ.OTW, a KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK i R stosują wzór 1 + p(n - 1). Przy dużych próbach różnice są minimalne, przy małych mogą być wyraźne.

Jak interpretować rozstęp międzykwartylowy?

IQR to szerokość przedziału, w którym mieści się środkowa połowa wyników. Na przykład IQR = 9 dni oznacza, że 50% osób o typowych wynikach różni się między sobą maksymalnie o 9 dni. Im większy IQR, tym większe zróżnicowanie w środkowej części grupy.

Co to jest reguła 1,5 IQR?

To sposób wyznaczania wartości odstających zaproponowany przez Tukeya. Za odstający uznaje się wynik mniejszy niż Q1 - 1,5 · IQR lub większy niż Q3 + 1,5 · IQR. To konwencja do oznaczania wyników wymagających sprawdzenia, a nie automatyczne kryterium usuwania danych.

Kiedy podawać medianę i IQR zamiast średniej i odchylenia standardowego?

Gdy zmienna jest porządkowa (na przykład pojedyncza pozycja skali Likerta) albo ilościowa o wyraźnie skośnym rozkładzie lub z wartościami skrajnymi. Przy rozkładach zbliżonych do normalnego wystarczy średnia z odchyleniem standardowym.