Odchylenie standardowe a błąd standardowy - wzory, interpretacja i różnice

Odchylenie standardowe pojawia się w każdej tabeli statystyk opisowych, zwykle obok średniej. Błąd standardowy ma podobną nazwę i też dotyczy średniej, więc oba pojęcia bardzo często się myli, również w artykułach naukowych (Altman i Bland, 2005). W tym wpisie znajdziesz wzory na odchylenie standardowe w próbie i populacji, wyjaśnienie, skąd w mianowniku bierze się n - 1, przykład policzony krok po kroku, regułę 68-95-99,7 oraz jasną odpowiedź na pytanie, kiedy w pracy podać SD, a kiedy błąd standardowy lub przedział ufności.

Odchylenie standardowe - co to jest

Odchylenie standardowe (SD, s, σ) mówi, jak bardzo pojedyncze wyniki rozrzucają się wokół średniej. Jest wyrażone w tych samych jednostkach co dane: jeśli mierzysz wynik testu w punktach, SD też jest w punktach; jeśli wiek w latach, SD jest w latach. Małe SD oznacza, że większość osób ma wyniki zbliżone do średniej. Duże SD oznacza, że grupa jest zróżnicowana.

Dwie grupy mogą mieć tę samą średnią i zupełnie różne SD. Średni wynik 70 punktów w klasie, w której wszyscy mają od 65 do 75 punktów, to inna sytuacja niż średnia 70 w klasie, w której wyniki rozciągają się od 30 do 100. Dlatego średniej nie podaje się bez miary rozproszenia. Kiedy zamiast średniej i SD lepiej użyć mediany, opisuje wpis o wyborze średniej, mediany lub dominanty.

Odchylenie standardowe - wzór dla populacji i próby

Gdy masz dane z całej populacji (wszystkich N jednostek), odchylenie standardowe liczysz tak:

σ = √[ Σ(x_i - μ)² / N ]

W badaniach prawie zawsze masz jednak tylko próbę i na jej podstawie szacujesz zmienność w populacji. Wtedy stosuje się wzór z n - 1 w mianowniku:

s = √[ Σ(x_i - x̄)² / (n - 1) ]

• x_i to wynik i-tej osoby,
• x̄ (lub M) to średnia z próby, a μ średnia w populacji,
• n to liczebność próby, N liczebność populacji.

Skąd n - 1? Odchylenia liczysz od średniej z próby, a nie od prawdziwej średniej populacji. Średnia z próby leży zawsze „w środku” Twoich danych, więc odchylenia od niej są przeciętnie trochę mniejsze niż odchylenia od nieznanej średniej populacji. Dzielenie przez n zaniżałoby więc zmienność. Dzielenie przez n - 1 (tzw. poprawka Bessela) usuwa to obciążenie z oszacowania wariancji. Programy statystyczne (SPSS, jamovi, R) domyślnie liczą wersję z n - 1. W Excelu odpowiada jej funkcja ODCH.STANDARD.PRÓBKI (w wersji angielskiej STDEV.S), a wersji populacyjnej ODCH.STAND.POPUL (STDEV.P).

Odchylenie standardowe a wariancja

Wariancja to średni kwadrat odchyleń od średniej, czyli to, co we wzorze stoi pod pierwiastkiem. Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji. Obie miary niosą tę samą informację, różnią się jednostką: wariancja wyniku w punktach jest wyrażona w „punktach do kwadratu”, co trudno sobie wyobrazić. Dlatego w opisie danych podaje się SD, a wariancja pojawia się głównie w obliczeniach (np. w ANOVA, alfie Cronbacha czy teście Levene’a).

Przykład obliczeń krok po kroku

Przykładowe dane: wyniki testu (w punktach) 10 studentów: 62, 70, 74, 58, 81, 66, 77, 69, 73, 70. Średnia wynosi 700 / 10 = 70 punktów.

1. Suma kwadratów odchyleń wynosi 420.
2. Wariancja z próby: 420 / (10 - 1) = 46,67.
3. Odchylenie standardowe: √46,67 = 6,83 punktu.

Gdyby te 10 osób było całą populacją, wariancja wyniosłaby 420 / 10 = 42, a odchylenie standardowe 6,48. Różnica jest wyraźna przy małej liczebności i znika przy dużych próbach.

Odchylenie standardowe - interpretacja

W naszym przykładzie M = 70, SD = 6,83. Interpretacja: wyniki studentów odchylają się od średniej typowo o około 7 punktów. Żeby ocenić, czy to dużo, porównaj SD z zakresem skali i ze średnią. Pomocny bywa współczynnik zmienności, czyli SD podzielone przez średnią: 6,83 / 70 = 0,098, czyli około 9,8%. To niewielkie zróżnicowanie. Współczynnik zmienności ma sens tylko dla zmiennych mierzonych na skali ilorazowej (z naturalnym zerem), np. czasu czy masy ciała.

Jeśli rozkład jest zbliżony do normalnego, SD można przełożyć na odsetki osób dzięki regule 68-95-99,7:

Reguła działa tylko dla rozkładów zbliżonych do normalnego. Przy silnie skośnych danych (np. dochód, czas reakcji) średnia ± 2 SD może wyjść poza możliwy zakres, np. dać ujemny czas. To sygnał, że lepiej opisać zmienną medianą i rozstępem ćwiartkowym. Jak ocenić kształt rozkładu, opisuje wpis jak sprawdzić normalność rozkładu.

Do czego jeszcze przydaje się odchylenie standardowe

SD jest „miarką”, w której wyraża się położenie pojedynczego wyniku. Wynik standaryzowany z = (x - M) / SD mówi, o ile odchyleń standardowych dana osoba jest powyżej lub poniżej średniej. W naszym przykładzie student z wynikiem 81 punktów ma z = (81 - 70) / 6,83 = 1,61, a student z wynikiem 58 punktów z = -1,76. Takie wartości można porównywać nawet między testami o różnych skalach punktowych.

Na odchyleniu standardowym opiera się też najpopularniejsza miara wielkości efektu dla różnic średnich, d Cohena: różnica średnich podzielona przez SD. Różnica 6 punktów przy SD = 10 daje d = 0,60, a ta sama różnica przy SD = 30 tylko d = 0,20. Bez SD nie da się więc ocenić, czy różnica między grupami jest duża, co szerzej pokazuje wpis o wielkości efektu.

Błąd standardowy średniej

Błąd standardowy średniej (SE, SEM) odpowiada na inne pytanie: jak bardzo średnia z próby różniłaby się od próby do próby, gdyby badanie powtarzać wiele razy. Mierzy więc precyzję oszacowania średniej populacji, a nie rozrzut wyników osób. Wzór jest prosty:

SE = s / √n

W naszym przykładzie SE = 6,83 / √10 = 6,83 / 3,16 = 2,16 punktu. Błąd standardowy jest więc ponad trzy razy mniejszy niż SD, i będzie malał wraz z liczebnością. Przy tym samym rozrzucie wyników (SD = 6,83):

SD opisuje zjawisko i nie maleje przy zwiększaniu próby (zmienia się tylko jego oszacowanie). SE opisuje dokładność pomiaru średniej i przy czterokrotnie większej próbie spada o połowę.

Z błędu standardowego buduje się przedział ufności dla średniej: M ± t × SE, gdzie t to wartość krytyczna rozkładu t-Studenta dla n - 1 stopni swobody. Dla naszych danych t(9) = 2,262, więc 95% przedział ufności wynosi 70 ± 2,262 × 2,16, czyli od 65,11 do 74,89 punktu. Szczegóły interpretacji przedziału znajdziesz we wpisie o tym, jak interpretować i raportować przedział ufności.

Kiedy w pracy podać SD, a kiedy SE lub przedział ufności

Praktyczna zasada: gdy opisujesz, jacy są badani, podaj M i SD. Gdy mówisz, jak dokładnie znasz średnią w populacji, podaj przedział ufności (albo SE). Nagele (2003) zwrócił uwagę, że w części artykułów medycznych SE był podawany w miejscu SD przy opisie zmienności próby. Ponieważ SE jest zawsze mniejszy, dane wyglądały na mniej zróżnicowane, niż były naprawdę. Ten sam błąd zdarza się w pracach dyplomowych, zwłaszcza gdy ktoś przepisuje do tabeli niewłaściwą kolumnę z wydruku.

Na wykresach słupkowych i punktowych „wąsy” mogą pokazywać SD, SE albo przedział ufności. Każda z tych wersji wygląda inaczej, więc w podpisie wykresu zawsze napisz, co przedstawiają słupki błędu, np. „Słupki błędu oznaczają 95% przedział ufności”.

Uważaj też przy przepisywaniu wyników z programu. W tabelach statystyk opisowych SPSS czy jamovi obok średniej często stoi kolumna „błąd standardowy” albo „Std. Error”, a dopiero dalej odchylenie standardowe. Przed wpisaniem liczby do tabeli sprawdź nagłówek kolumny. Prosty test kontrolny: SE jest zawsze mniejszy od SD, a ich iloraz równa się pierwiastkowi z liczebności (u nas 6,83 / 2,16 = 3,16, czyli √10).

Jak zapisać SD i SE w stylu APA

W tekście: „Średni wynik testu wyniósł 70,00 punktu (SD = 6,83)” albo „M = 70,00, SD = 6,83”. Przy przedziale ufności: „M = 70,00, 95% CI [65,11; 74,89]”. Symbole M i SD zapisuje się kursywą, a w tabelach statystyk opisowych zwykle wystarczają kolumny n, M i SD. W polskim tekście liczby zapisujesz z przecinkiem dziesiętnym, a w nawiasie przedziału ufności oddzielasz granice średnikiem, żeby nie pomylić przecinków. Jak ułożyć taką tabelę, pokazuje wpis o tabelach wyników w APA 7, a co jeszcze powinno się znaleźć w części opisowej, wpis o statystyce opisowej w pracy dyplomowej.

Typowe błędy

• Podawanie SE w tabeli opisującej próbę, gdzie powinno być SD.
• Brak informacji, co pokazują słupki błędu na wykresie.
• Liczenie SD wzorem populacyjnym (dzielenie przez n) dla danych z próby.
• Raportowanie średniej i SD dla zmiennej silnie skośnej albo porządkowej bez podania mediany.
• Interpretowanie małego SE jako dowodu, że osoby w grupie są do siebie podobne.

Raport z wyliczenia automatycznego zawiera statystyki opisowe z poprawnie dobranymi miarami (M, SD, mediana, przedziały ufności tam, gdzie są potrzebne). Zakres analiz dla Twoich danych sprawdzisz w kreatorze wyceny analizy.

Najczęstsze pytania

Jak interpretować odchylenie standardowe?

SD mówi, o ile typowo wyniki odchylają się od średniej, w jednostkach pomiaru. Przy M = 70 i SD = 6,83 wyniki różnią się od średniej przeciętnie o około 7 punktów. Przy rozkładzie zbliżonym do normalnego około 68% wyników mieści się w przedziale M ± 1 SD.

Dlaczego we wzorze na odchylenie standardowe jest n - 1?

Bo odchylenia liczysz od średniej z próby, a nie od prawdziwej średniej populacji, co zaniża zmienność. Dzielenie przez n - 1 koryguje to obciążenie. Wzór z N w mianowniku stosuje się tylko wtedy, gdy masz dane z całej populacji.

Czym różni się odchylenie standardowe od wariancji?

Wariancja to średni kwadrat odchyleń od średniej, a SD to pierwiastek z wariancji. SD ma te same jednostki co dane, dlatego lepiej nadaje się do opisu. Wariancja jest używana głównie w obliczeniach.

Co podać w tabeli: SD czy SE?

W tabeli opisującej próbę i zmienne podaj średnią i SD. Błąd standardowy lub przedział ufności podaje się, gdy mówisz o precyzji oszacowania średniej populacji, np. przy porównaniach grup albo na wykresie średnich.

Jak obliczyć błąd standardowy średniej?

Podziel odchylenie standardowe przez pierwiastek z liczebności próby: SE = SD / √n. Dla SD = 6,83 i n = 10 wychodzi SE = 2,16. Czterokrotne zwiększenie próby zmniejsza SE o połowę.