Test U Manna-Whitneya - co testuje, przykład i interpretacja

Test U Manna-Whitneya porównuje dwie niezależne grupy, gdy nie możesz lub nie chcesz polegać na teście t-Studenta. Jest jednym z najczęściej raportowanych testów w pracach dyplomowych i jednocześnie jednym z najczęściej źle opisywanych. W tym wpisie zobaczysz, co ten test naprawdę sprawdza, jak sformułować hipotezy, jak liczy się U i Z, jak policzyć wielkość efektu r i jak zapisać wynik w APA 7. Wszystko na jednym przykładzie liczbowym.

Jeśli dopiero decydujesz, czy w ogóle wybrać ten test, zacznij od wpisu test t-Studenta czy Mann-Whitney - jak wybrać. Tutaj zakładamy, że decyzja już zapadła i skupiamy się na samym teście.

Czym jest test U Manna-Whitneya

Henry Mann i Donald Whitney opublikowali test w 1947 roku, dwa lata po tym, jak Frank Wilcoxon opisał równoważny test sumy rang. Dlatego w programach spotkasz obie nazwy, a SPSS w tej samej tabeli podaje zarówno U, jak i W Wilcoxona. Nie należy go mylić z testem rangowanych znaków Wilcoxona, który służy do porównania dwóch pomiarów tych samych osób; opisujemy go we wpisie o teście Wilcoxona.

Test łączy wyniki obu grup, szereguje je od najmniejszego do największego i sprawdza, czy rangi jednej grupy są systematycznie wyższe. Statystyka U ma prostą interpretację: to liczba par „osoba z grupy 1 - osoba z grupy 2”, w których wynik osoby z grupy 1 jest wyższy (remis liczy się jako pół).

Co dokładnie testuje Mann-Whitney

Najczęstsze zdanie w pracach brzmi: „test U Manna-Whitneya porównuje mediany”. To uproszczenie. Test sprawdza, czy losowo wybrana osoba z jednej grupy ma taką samą szansę uzyskać wyższy wynik niż losowo wybrana osoba z drugiej grupy, jak odwrotnie. Formalnie H₀ mówi, że P(X > Y) = P(Y > X). Odrzucenie H₀ oznacza, że wyniki jednej grupy są stochastycznie wyższe, czyli „przesunięte w górę” w sensie rang.

Wniosek o medianach jest uprawniony tylko przy dodatkowym założeniu, że oba rozkłady mają ten sam kształt i rozproszenie, a różnią się jedynie położeniem. Hart (2001) pokazała, że test reaguje także na różnice w rozproszeniu i kształcie, a Divine i współpracownicy (2018) podali przykłady, w których przy równych medianach test daje wynik istotny, bo grupy różnią się kształtem lub rozproszeniem rozkładu. Dlatego bezpieczny zapis brzmi: „wyniki w grupie A były istotnie wyższe niż w grupie B”, a mediany podajesz jako opis. Pomaga też wykres pudełkowy, który pokazuje kształt obu rozkładów; jak go czytać, opisujemy w tekście o wykresie pudełkowym.

Test U Manna-Whitneya: hipotezy

• H₀: rozkłady zmiennej w obu grupach są takie same; prawdopodobieństwo, że wynik z grupy 1 jest wyższy niż z grupy 2, wynosi 0,5.
• H₁ dwustronna: wyniki jednej z grup są systematycznie wyższe (prawdopodobieństwo różne od 0,5).
• H₁ jednostronna: wyniki grupy 1 są systematycznie wyższe niż grupy 2 (lub niższe), jeśli kierunek wynika z teorii i zapisałeś go przed analizą.

Jeśli rozkłady mają podobny kształt, możesz uzupełnić to zdaniem: „przy założeniu podobnego kształtu rozkładów oznacza to różnicę median”.

Założenia testu

• Dwie niezależne grupy, a każda osoba należy tylko do jednej z nich.
• Zmienna zależna co najmniej porządkowa (np. ocena na skali, czas, liczba zdarzeń).
• Niezależne obserwacje wewnątrz grup.

Test nie wymaga normalności ani równych wariancji. Przy wyraźnie różnym rozproszeniu w grupach pamiętaj jednak, że wynik nie dotyczy wtedy samego położenia, co wynika z poprzedniej sekcji. Nie wymaga też równych liczebności grup.

Jak liczy się U i Z

1. Połącz wyniki obu grup i nadaj rangi od 1 do N = n₁ + n₂; przy remisach rangi średnie.
2. Policz sumy rang R₁ i R₂.
3. Oblicz U dla każdej grupy.
4. Przy większych próbach przelicz U na Z.

U₁ = R₁ - n₁(n₁ + 1)/2
U₂ = R₂ - n₂(n₂ + 1)/2, przy czym U₁ + U₂ = n₁n₂
μ_U = n₁n₂/2, σ_U = √[n₁n₂(N + 1)/12]
Z = (U - μ_U) / σ_U

W raporcie zwykle podaje się mniejszą z wartości U. Gdy w danych są remisy, σ_U pomniejsza się o poprawkę na rangi wiązane. Niektóre programy (np. R) dodają też poprawkę na ciągłość, przez co p może się różnić w trzecim miejscu po przecinku.

Test Manna-Whitneya: przykład

Przykładowe dane: czas spędzany dziennie w mediach społecznościowych (w minutach) zadeklarowany przez 10 studentów I roku i 12 studentów V roku. Rozkład czasu jest prawostronnie skośny (skośność 1,13 i 1,03), w grupie I roku jest wynik 380 minut, a odchylenia standardowe różnią się prawie dwukrotnie. Przy tak małych grupach to wystarczający powód, aby użyć testu rangowego.

Sumy rang wynoszą R₁ = 153 i R₂ = 100 (razem 253 = 22 · 23 / 2). Stąd U₁ = 153 - 55 = 98 oraz U₂ = 100 - 78 = 22. Sprawdzenie: 98 + 22 = 120 = 10 · 12. Oznacza to, że w 98 ze 120 możliwych par „student I roku - student V roku” wyższy czas miał student I roku.

μ_U = 60, σ_U = √(10 · 12 · 23 / 12) = 15,17, więc Z = (22 - 60) / 15,17 = -2,51. Dokładne p dwustronne wynosi 0,011, przybliżenie normalne bez poprawki na ciągłość daje p = 0,012, a z poprawką p = 0,013. Każda z tych wartości prowadzi do odrzucenia H₀ na poziomie 0,05.

Wielkość efektu r i inne miary

Najczęściej raportuje się r liczone z Z (Tomczak i Tomczak, 2014):

r = |Z| / √N, gdzie N = n₁ + n₂

W przykładzie r = 2,51 / √22 = 0,53, co według umownych progów 0,1 / 0,3 / 0,5 oznacza efekt duży. Dwie inne miary bywają bardziej intuicyjne dla czytelnika:

• prawdopodobieństwo przewagi PS = U₁ / (n₁n₂) = 98 / 120 = 0,82, czyli w 82% par student I roku spędzał w sieci więcej czasu,
• korelacja rangowo-dwuseryjna r_rb = 2 · PS - 1 = 0,63.

Jako oszacowanie wielkości różnicy w minutach możesz podać estymator Hodgesa-Lehmanna, czyli medianę wszystkich różnic między parami: tu 60 minut. Nie myl go z różnicą median grup (130 - 70 = 60), która tu przypadkiem wychodzi tak samo.

Test jednostronny, remisy i p dokładne

Jeśli przed badaniem zapisałeś kierunkową hipotezę (np. „studenci I roku spędzają więcej czasu w mediach społecznościowych”), możesz użyć testu jednostronnego. W przykładzie dokładne p jednostronne byłoby o połowę mniejsze. Nie zmieniaj jednak hipotezy po obejrzeniu wyników. Przy wielu remisach, typowych dla skal z kilkoma punktami odpowiedzi, p dokładne liczone bez remisów przestaje być ścisłe i programy przechodzą na przybliżenie normalne z poprawką na rangi wiązane. W pracy napisz, którą wersję p podajesz: dokładną czy asymptotyczną.

Test Manna-Whitneya: interpretacja

Interpretujesz trzy rzeczy. Istotność: p = 0,011 < 0,05, więc grupy różnią się rozkładem czasu. Kierunek: wyższa średnia ranga i mediana w grupie I roku wskazują, że to studenci I roku spędzają więcej czasu w mediach społecznościowych. Wielkość: r = 0,53 i PS = 0,82 to efekt wyraźny.

Czego nie pisać? Że „mediany różnią się o 60 minut”, jeśli nie sprawdziłeś, czy rozkłady mają podobny kształt. Tu grupa I roku ma wyraźnie większy rozrzut, więc rzetelniej napisać, że studenci I roku deklarowali systematycznie dłuższy czas. Nie pisz też o średnich, skoro test operuje na rangach.

Raport APA 7

Ze względu na skośny rozkład czasu korzystania z mediów społecznościowych do porównania grup zastosowano test U Manna-Whitneya. Studenci I roku (Mdn = 130 min, IQR = 98,75-198,75) deklarowali istotnie dłuższy czas niż studenci V roku (Mdn = 70 min, IQR = 52,50-103,75), U = 22, z = -2,51, p = 0,011, r = 0,53.

Jeśli raportujesz p dokładne, zaznacz to w opisie metod. Pełny zestaw wzorów zapisu dla innych testów znajdziesz w poradniku jak zaraportować wynik testu w APA 7, a o tym, czemu przy skośnych danych podajemy medianę, piszemy w tekście średnia, mediana czy dominanta.

Test Manna-Whitneya w SPSS, Statistica i jamovi

• SPSS: Analyze > Nonparametric Tests > Legacy Dialogs > 2 Independent Samples, zaznacz Mann-Whitney U i zdefiniuj kody grup. W tabeli Test Statistics znajdziesz U, W Wilcoxona, Z i istotność asymptotyczną.
• Statistica (wersja angielska): w panelu startowym statystyk nieparametrycznych wybierz Comparing two independent samples (groups), a następnie Mann-Whitney U test.
• jamovi: Analyses > T-Tests > Independent Samples T-Test, zaznacz Mann-Whitney U (możesz odznaczyć Student's). W tym samym oknie ustawisz hipotezę jednostronną i wielkość efektu.

Gdy grup jest więcej lub dane są sparowane

Przy trzech i więcej grupach nie wykonuj serii testów Manna-Whitneya, tylko test Kruskala-Wallisa z post hoc Dunna. Przy pomiarach przed i po u tych samych osób właściwy jest test rangowanych znaków Wilcoxona. Gdy nie wiesz, który z nich pasuje do Twojego układu, przewodnik „Który test wybrać?” w darmowych narzędziach przeprowadzi Cię przez kilka pytań. Gotowe porównanie grup z tabelą i opisem APA zamówisz w kreatorze wyceny.

Typowe błędy

• Pisanie, że test „porównuje mediany”, bez zastrzeżenia o kształcie rozkładów.
• Raportowanie średnich i SD obok testu rangowego zamiast median i kwartyli.
• Podanie samego p bez U, Z i wielkości efektu.
• Użycie testu do danych sparowanych.
• Wybór testu po porównaniu, który daje „lepsze” p.

Najczęstsze pytania

Czy test Manna-Whitneya porównuje mediany?

Nie bezpośrednio. Sprawdza, czy wyniki jednej grupy są systematycznie wyższe niż drugiej, czyli czy P(X > Y) różni się od 0,5. Interpretacja jako różnica median jest uprawniona tylko wtedy, gdy rozkłady w obu grupach mają podobny kształt i rozproszenie.

Jakie są hipotezy w teście U Manna-Whitneya?

H0: rozkłady w obu grupach są takie same, a szansa, że wynik z jednej grupy przewyższa wynik z drugiej, wynosi 0,5. H1: wyniki jednej z grup są systematycznie wyższe. Wersję jednostronną stosujesz tylko wtedy, gdy kierunek zapisałeś przed analizą.

Jak policzyć wielkość efektu w teście Manna-Whitneya?

Najprościej r = |Z| / √N, gdzie N to łączna liczba osób w obu grupach. Możesz też podać prawdopodobieństwo przewagi U/(n1·n2) albo korelację rangowo-dwuseryjną.

Którą wartość U podać, skoro program pokazuje dwie?

Obie wartości sumują się do n1·n2 i dają to samo p. Zwykle raportuje się mniejszą z nich albo tę, którą wypisał Twój program. Ważne, aby kierunek różnicy opisać medianami lub średnimi rangami.

Czy grupy w teście Manna-Whitneya muszą być równoliczne?

Nie. Test działa przy różnych liczebnościach. Bardzo małe grupy (kilka osób) dają jednak niską moc, więc nieistotny wynik nie oznacza braku różnicy.