Test Kruskala-Wallisa - hipotezy, post hoc i interpretacja na przykładzie

Test Kruskala-Wallisa to nieparametryczny odpowiednik jednoczynnikowej analizy wariancji. Używasz go, gdy porównujesz trzy lub więcej niezależnych grup, a zmienna zależna jest porządkowa albo ilościowa, ale bez rozkładu zbliżonego do normalnego. W tym wpisie przejdziesz przez hipotezy, wzór na statystykę H, post hoc Dunna z poprawką, wielkość efektu i pełny przykład liczbowy zakończony opisem w APA 7.

Czym jest test Kruskala-Wallisa

Test opisali William Kruskal i W. Allen Wallis w 1952 roku. Działa tak jak test U Manna-Whitneya, tylko dla większej liczby grup: wszystkie wyniki z wszystkich grup szeregujesz razem, nadajesz im rangi, a potem sprawdzasz, czy średnie rangi w grupach różnią się bardziej, niż wynikałoby to z przypadku. Dla dwóch grup test Kruskala-Wallisa daje ten sam wynik co dwustronny test U Manna-Whitneya w wersji z przybliżeniem normalnym.

Ponieważ test operuje na rangach, pojedyncze skrajne wartości nie zaburzają go tak mocno jak ANOVA. Ceną jest to, że wynik mówi o rangach, a nie o średnich, więc w opisie posługujesz się medianami i średnimi rangami.

Kiedy stosować test Kruskala-Wallisa

• Masz jedną zmienną grupującą z trzema lub więcej kategoriami (np. kierunek studiów, staż pracy w przedziałach, rodzaj terapii).
• Grupy są niezależne: każda osoba należy tylko do jednej z nich.
• Zmienna zależna jest porządkowa (np. pojedyncza odpowiedź na skali Likerta) albo ilościowa o rozkładzie silnie skośnym, z obserwacjami odstającymi lub w bardzo małych grupach.

Jeśli te same osoby badasz w trzech momentach, potrzebujesz testu Friedmana albo ANOVA z powtarzanymi pomiarami, a nie Kruskala-Wallisa. Gdy rozkłady są zbliżone do normalnego, a grupy liczniejsze, zwykle lepszym wyborem jest klasyczna ANOVA, którą opisujemy w tekście o ANOVA i testach post hoc. Co zrobić, gdy test normalności odrzuca hipotezę o rozkładzie normalnym, omawiamy w artykule test normalności odrzuca - i co teraz.

Założenia samego testu są skromne: niezależne obserwacje, co najmniej porządkowy poziom pomiaru i najlepiej co najmniej 5 osób w grupie, aby przybliżenie rozkładem chi-kwadrat było wiarygodne. Przy mniejszych grupach programy mogą policzyć p dokładne lub metodą Monte Carlo.

Jak przygotować dane do testu

Dane układasz w formacie długim: jedna osoba to jeden wiersz, w jednej kolumnie jest wynik (np. stres), a w drugiej kod grupy (np. 1 = pielęgniarstwo, 2 = ratownictwo, 3 = fizjoterapia). Kody opisz etykietami, aby w wynikach widzieć nazwy kierunków zamiast cyfr. Przed testem sprawdź liczebności grup: jeśli jedna grupa ma 3 osoby, a inne po 40, porównania z nią będą miały bardzo małą moc i warto rozważyć połączenie kategorii, o ile ma to sens merytoryczny. Policz też mediany i kwartyle w grupach i obejrzyj wykres pudełkowy. Dzięki temu ocenisz, czy rozkłady mają podobny kształt, a to decyduje, czy wynik możesz opisać jako różnicę median.

Test Kruskala-Wallisa: hipotezy

• H₀: rozkłady zmiennej we wszystkich grupach są takie same, czyli żadna grupa nie ma systematycznie wyższych wyników niż pozostałe.
• H₁: w co najmniej jednej grupie wyniki są systematycznie wyższe lub niższe niż w innej.

W podręcznikach często spotkasz zapis „mediany są równe”. Jest on poprawny tylko wtedy, gdy rozkłady w grupach mają podobny kształt i rozproszenie, a różnią się wyłącznie położeniem. Gdy jedna grupa ma znacznie większy rozrzut niż pozostałe, test może być istotny mimo zbliżonych median. Dlatego bezpieczniej pisać o różnicach w rozkładach lub w średnich rangach, a mediany podawać jako opis.

Jak liczy się statystykę H

1. Połącz wyniki wszystkich grup i nadaj im rangi od 1 (najmniejszy) do N (największy). Remisy otrzymują rangę średnią.
2. Dla każdej grupy policz sumę rang R_j i liczebność n_j.
3. Wstaw wartości do wzoru:

H = [12 / (N(N + 1))] · Σ (R_j² / n_j) - 3(N + 1)
df = k - 1

Gdy występują remisy, H dzieli się przez poprawkę C = 1 - Σ(t³ - t) / (N³ - N), gdzie t to liczba wyników w każdej grupie remisów. Przy dużej próbie H ma w przybliżeniu rozkład chi-kwadrat z k - 1 stopniami swobody (k to liczba grup), stąd w raportach zapis H(2) albo χ²(2).

Test Kruskala-Wallisa: przykład

Przykładowe dane: wynik skali stresu (0-40 punktów) u 24 studentów trzech kierunków medycznych, po 8 osób na kierunek. Grupy są małe, a wynik sumaryczny krótkiej skali traktujemy jako porządkowy, dlatego wybieramy test Kruskala-Wallisa. W nawiasach podano rangi nadane w całej próbie.

Sumy rang wynoszą 143, 60,5 i 96,5 (razem 300 = 24 · 25 / 2). Opis grup wygląda tak:

Bez poprawki na remisy H = 8,55. W danych jest siedem par remisów, więc C = 0,997 i po poprawce H = 8,58. Przy df = 2 daje to p = 0,014. Wynik jest istotny: przynajmniej jeden kierunek różni się od innych poziomem stresu.

Wielkość efektu: epsilon² i eta² H

Tomczak i Tomczak (2014) podają dwie miary wielkości efektu dla testu Kruskala-Wallisa:

ε²_R = H / [(N² - 1) / (N + 1)], co upraszcza się do H / (N - 1)
η²_H = (H - k + 1) / (N - k)

W przykładzie ε² = 8,58 / 23 = 0,37, a η²_H = (8,58 - 3 + 1) / (24 - 3) = 0,31. Obie przyjmują wartości od 0 do 1. η²_H pomnożone przez 100% interpretuje się jako odsetek zmienności zmiennej zależnej (w ujęciu rangowym) wyjaśniony przez przynależność do grupy, tu około 31%. W pracy wybierz jedną miarę i podaj jej wzór lub źródło. Dlaczego bez wielkości efektu wynik jest niepełny, wyjaśniamy w tekście o wielkości efektu.

Test Kruskala-Wallisa: post hoc Dunna

Istotne H mówi tylko, że gdzieś jest różnica. Aby wskazać, które pary grup się różnią, wykonuje się porównania wielokrotne. Standardem jest test Dunna (1964), który korzysta z rang nadanych w całej próbie, a nie rangowania każdej pary od nowa. Dla pary grup i oraz j:

z = (R̄_i - R̄_j) / √{[N(N + 1)/12 - Σ(t³ - t) / (12(N - 1))] · (1/n_i + 1/n_j)}

Przy trzech porównaniach rośnie ryzyko fałszywego alarmu, więc p trzeba skorygować. Poprawka Bonferroniego mnoży każde p przez liczbę porównań (m). Poprawka Holma jest mniej zachowawcza: porządkuje p od najmniejszego, najmniejsze mnoży przez m, kolejne przez m - 1 i tak dalej, pilnując, aby skorygowane p nie malały.

Po korekcie istotna pozostaje tylko różnica między pielęgniarstwem a ratownictwem: studenci pielęgniarstwa mają wyższy poziom stresu (mediana 27 wobec 19 punktów). Fizjoterapia leży pomiędzy i nie różni się istotnie od żadnej z grup. Taki wynik jest częsty i nie świadczy o błędzie: test ogólny może być istotny, a w post hoc istotna okazuje się jedna para. Ta sama logika poprawki obowiązuje przy post hoc po klasycznej ANOVA.

Nie wykonuj zamiast post hoc trzech osobnych testów Manna-Whitneya bez korekty. Każdy z nich rangowałby dane inaczej, a łączny poziom błędu I rodzaju byłby wyższy niż 0,05.

Test Kruskala-Wallisa: interpretacja

Interpretacja ma cztery kroki. Najpierw H, df i p: tu H(2) = 8,58, p = 0,014, więc kierunek studiów różnicuje poziom stresu. Potem wielkość efektu: ε² = 0,37, czyli różnice są wyraźne, choć przy 24 osobach przedział niepewności takiej oceny jest szeroki. Następnie post hoc z poprawką, który wskazuje konkretną parę. Na końcu kierunek różnicy z median lub średnich rang.

Unikaj zdania „średnie różnią się istotnie”, bo test nie porównuje średnich. Nie pisz też, że „fizjoterapia nie różni się od pielęgniarstwa”, tylko że różnica nie okazała się istotna, co przy grupach po 8 osób może wynikać z małej mocy testu.

Raport APA 7

Do porównania poziomu stresu między kierunkami studiów zastosowano test Kruskala-Wallisa. Kierunek różnicował poziom stresu, H(2) = 8,58, p = 0,014, ε² = 0,37. Porównania post hoc testem Dunna z poprawką Holma wykazały, że studenci pielęgniarstwa (Mdn = 27,0) mieli wyższy poziom stresu niż studenci ratownictwa (Mdn = 19,0), z = 2,92, p = 0,010. Studenci fizjoterapii (Mdn = 21,5) nie różnili się istotnie ani od studentów pielęgniarstwa (p = 0,199), ani od studentów ratownictwa (p = 0,202).

Mediany, kwartyle i średnie rangi najlepiej zebrać w tabeli. Jak ją sformatować, pokazujemy w poradniku jak zbudować tabelę wyników w APA 7.

Test Kruskala-Wallisa w SPSS, Statistica i jamovi

• SPSS: Analyze > Nonparametric Tests > Independent Samples. Porównania parami pojawiają się, gdy test ogólny jest istotny (zależnie od wersji w osobnej tabeli albo w przeglądarce modelu, widok Pairwise Comparisons). SPSS stosuje tam metodę Dunna, a kolumna Adj. Sig. zawiera p skorygowane metodą Bonferroniego.
• Statistica (wersja angielska): w panelu startowym statystyk nieparametrycznych wybierz Comparing multiple indep. samples (groups), co otwiera okno Kruskal-Wallis ANOVA and Median Test. Porównania par uruchomisz przyciskiem Multiple comparisons of mean ranks for all groups.
• jamovi: Analyses > ANOVA, w sekcji nieparametrycznej One-Way ANOVA: Kruskal-Wallis. Wbudowane porównania parami to metoda DSCF (Dwass-Steel-Critchlow-Fligner), a nie test Dunna, więc w pracy podaj nazwę metody, której faktycznie użyłeś.

Jeśli porównujesz kilka grup pielęgniarek, ratowników czy pacjentów i nie wiesz, czy wybrać ANOVA, czy Kruskala-Wallisa, zajrzyj na stronę statystyka do pracy z pielęgniarstwa albo zaznacz analizę w kreatorze wyceny. Raport zawiera wtedy test ogólny, post hoc Dunna i tabelę w APA.

Typowe błędy

• Zakończenie analizy na istotnym H bez porównań post hoc.
• Seria testów Manna-Whitneya bez poprawki zamiast testu Dunna.
• Raportowanie średnich i odchyleń standardowych zamiast median i kwartyli.
• Brak informacji, jaką poprawkę zastosowano (Bonferroni, Holm).
• Użycie testu do pomiarów powtarzanych u tych samych osób.

Najczęstsze pytania

Kiedy użyć testu Kruskala-Wallisa zamiast ANOVA?

Gdy porównujesz trzy lub więcej niezależnych grup, a zmienna jest porządkowa, ma silnie skośny rozkład, wartości odstające albo grupy są bardzo małe. Przy rozkładach zbliżonych do normalnego i większych grupach klasyczna ANOVA zwykle ma większą moc.

Jaki test post hoc po teście Kruskala-Wallisa?

Najczęściej test Dunna z poprawką Bonferroniego lub Holma. Korzysta on z rang nadanych w całej próbie. Alternatywą jest metoda DSCF, dostępna m.in. w jamovi.

Co zrobić, gdy test Kruskala-Wallisa jest istotny, a post hoc nic nie pokazuje?

To się zdarza, bo test ogólny i porównania parami mają różną moc, a poprawka podnosi p. Raportujesz oba wyniki uczciwie: istnieje różnica ogólna, ale żadna para nie przekroczyła progu po korekcie. W dyskusji wskaż małą liczebność grup jako ograniczenie.

Jak policzyć wielkość efektu dla testu Kruskala-Wallisa?

Możesz użyć epsilon kwadrat: ε² = H / (N - 1), albo eta kwadrat: η²H = (H - k + 1) / (N - k), gdzie N to liczba wszystkich obserwacji, a k liczba grup. Obie miary opisują Tomczak i Tomczak (2014).

Czy test Kruskala-Wallisa porównuje mediany?

Bezpośrednio porównuje średnie rangi, czyli sprawdza, czy wyniki w którejś grupie są systematycznie wyższe. Wniosek o medianach jest uprawniony, gdy rozkłady w grupach mają podobny kształt i rozproszenie.