Test Wilcoxona - kiedy go użyć, jak policzyć i zinterpretować

Test Wilcoxona to jeden z najczęściej używanych testów nieparametrycznych w pracach licencjackich i magisterskich. Sięgasz po niego, gdy te same osoby zbadano dwa razy (przed i po interwencji), a różnice między pomiarami nie spełniają założeń testu t albo zmienna ma charakter porządkowy. Poniżej znajdziesz hipotezy, sposób liczenia statystyki T i Z, wielkość efektu, pełny przykład na przykładowych danych i gotowy opis w standardzie APA 7.

Czym jest test Wilcoxona

Frank Wilcoxon w 1945 roku opisał w jednym artykule dwa testy rangowe. Pierwszy służy do porównania dwóch pomiarów u tych samych osób i nazywa się testem rangowanych znaków (ang. Wilcoxon signed-rank test, po polsku także test kolejności par Wilcoxona). Drugi porównuje dwie niezależne grupy i nazywa się testem sumy rang (ang. Wilcoxon rank-sum test). Gdy w pracy lub w poleceniu promotora pada samo „test Wilcoxona”, prawie zawsze chodzi o pierwszy z nich, czyli o wersję dla prób zależnych.

Test rangowanych znaków nie analizuje surowych wyników, lecz różnice w parach. Każdą różnicę zastępuje rangą jej wartości bezwzględnej, a potem sprawdza, czy rangi różnic dodatnich i ujemnych rozkładają się mniej więcej po równo. Jeśli niemal wszystkie duże różnice mają ten sam znak, test wskazuje na systematyczną zmianę.

Test Wilcoxona a test Manna-Whitneya

Fraza „test Wilcoxona Manna-Whitneya” bierze się stąd, że test sumy rang Wilcoxona i test U Manna-Whitneya (1947) to w praktyce ta sama procedura dla dwóch niezależnych grup, zapisana inną statystyką. Suma rang mniejszej grupy (W) i statystyka U różnią się tylko o stałą: U = W - n(n + 1)/2, gdzie n to liczebność tej grupy. Dlatego obie wersje dają tę samą wartość p. Test rangowanych znaków to natomiast zupełnie inny test, przeznaczony dla par pomiarów.

Jeśli porównujesz dwie różne grupy osób, potrzebujesz drugiej kolumny. Opisaliśmy ją osobno we wpisie o teście U Manna-Whitneya. Dalej zajmujemy się wyłącznie testem rangowanych znaków.

Kiedy stosować test Wilcoxona i jakie ma założenia

Typowe sytuacje to pomiar przed i po terapii, szkoleniu lub treningu, ocena tej samej rzeczy w dwóch warunkach (np. dwa smaki, dwa interfejsy) oraz pary dobrane, np. bliźnięta albo małżonkowie. Test Wilcoxona wybierasz zamiast testu t dla prób zależnych, gdy:

• różnice między pomiarami mają rozkład wyraźnie skośny albo zawierają obserwacje odstające,
• próba jest mała i nie da się wiarygodnie ocenić normalności różnic,
• zmienna jest porządkowa, np. pojedyncza ocena na skali od 1 do 5.

Test ma też własne założenia, o których studenci często zapominają:

• pary są od siebie niezależne (wynik jednej osoby nie wpływa na wynik innej),
• zmienna jest co najmniej porządkowa, a różnice da się sensownie uporządkować według wielkości,
• rozkład różnic jest w przybliżeniu symetryczny, jeśli wynik chcesz interpretować jako przesunięcie mediany różnic.

Ostatni punkt bywa pomijany. Test bez symetrii nadal jest poprawny jako test tego, czy różnice dodatnie i ujemne są „równie duże”, ale wtedy wniosek o medianie wymaga ostrożności. Normalność różnic sprawdzisz tak jak przy teście t, opis metod znajdziesz w tekście jak sprawdzić normalność rozkładu.

Test Wilcoxona: hipotezy

W wersji dla prób zależnych hipotezy dotyczą różnic między pomiarami:

• H₀: rozkład różnic jest symetryczny wokół zera (mediana różnic wynosi 0, pomiary nie różnią się systematycznie),
• H₁ dwustronna: mediana różnic jest różna od 0,
• H₁ jednostronna: mediana różnic jest większa od 0 (albo mniejsza), jeśli kierunek zapisałeś przed zebraniem danych.

W pracy możesz to zapisać prościej: „Zakłada się, że poziom lęku przed treningiem i po treningu nie różni się (H₀) wobec hipotezy, że się różni (H₁)”. Jak precyzyjnie formułować obie hipotezy, pokazujemy w artykule o hipotezie zerowej i alternatywnej.

Jak liczy się statystykę T (W) i Z

1. Dla każdej pary oblicz różnicę d_i = pomiar 1 - pomiar 2.
2. Pomiń pary z różnicą równą 0 (zmniejszają n).
3. Uszereguj wartości bezwzględne |d_i| od najmniejszej do największej i nadaj rangi; przy remisach przypisz rangę średnią.
4. Przywróć rangom znak różnicy i zsumuj osobno rangi dodatnie (T⁺) i ujemne (T^-). Zawsze T⁺ + T^- = n(n + 1)/2.
5. Statystyka testu to T = mniejsza z sum T⁺ i T^-.

Przy małych próbach (do kilkunastu par bez remisów) p liczy się dokładnie z rozkładu T. Przy większych próbach programy używają przybliżenia rozkładem normalnym:

μ_T = n(n + 1) / 4
σ_T = √[n(n + 1)(2n + 1) / 24]
Z = (T - μ_T) / σ_T

Gdy w danych są remisy, programy pomniejszają wariancję o poprawkę na rangi wiązane. Różne pakiety podają różne „W”: R i jamovi zwykle sumę rang dodatnich, SciPy mniejszą z sum, a SPSS w klasycznym oknie tylko Z i p. Wartość p jest ta sama, więc w pracy podaj tę statystykę, którą wypisał Twój program, i nazwij ją zgodnie z wydrukiem.

Test Wilcoxona: przykład krok po kroku

Przykładowe dane: 12 studentów wypełniło skalę lęku przed wystąpieniami publicznymi (wyższy wynik oznacza większy lęk) przed sześciotygodniowym treningiem i po nim. Różnicę liczymy jako „przed - po”, więc wartość dodatnia oznacza spadek lęku.

Rozkład różnic jest prawostronnie skośny (osoba nr 7 obniżyła wynik aż o 33 punkty), a test Shapiro-Wilka dla różnic daje W = 0,86, p = 0,044. To dobry powód, aby zamiast testu t użyć testu Wilcoxona. Sumy rang wynoszą T⁺ = 66 i T^- = 12 (razem 78 = 12 · 13 / 2), więc T = 12.

Z = (12 - 39) / 12,75 = -2,12. Dokładna wartość p wynosi 0,034, przybliżenie normalne daje praktycznie to samo. Dla porównania test t dla prób zależnych na tych samych danych dałby t(11) = 2,14, p = 0,056. Pojedyncza skrajna różnica zawyża odchylenie standardowe różnic i osłabia test t, a test rangowy traktuje ją po prostu jako największą rangę. Test wybierasz jednak na podstawie założeń, zanim spojrzysz na p, a nie dlatego, że „wyszło istotnie”.

Wielkość efektu w teście Wilcoxona

Najczęściej raportowaną miarą jest współczynnik r liczony z wartości Z:

r = |Z| / √N

Tomczak i Tomczak (2014) definiują N jako liczbę obserwacji, na których oparto Z. W literaturze funkcjonują dwie praktyki: N jako liczba par (tu 12) albo jako liczba wszystkich pomiarów (tu 24). W naszym przykładzie daje to r = 2,12 / √12 = 0,61 albo r = 2,12 / √24 = 0,43. Wybierz jedną wersję i napisz w metodologii, którą. Przy umownych progach 0,1 / 0,3 / 0,5 oba wyniki wskazują na efekt co najmniej umiarkowany.

Alternatywą jest korelacja rangowo-dwuseryjna dla par: r_rb = (T⁺ - T^-) / [n(n + 1)/2] = (66 - 12) / 78 = 0,69. Ma prostą interpretację: im bliżej 1, tym bardziej jednokierunkowe są zmiany. Szerzej o tym, dlaczego sama wartość p nie wystarcza, piszemy w tekście o wielkości efektu.

Test Wilcoxona: interpretacja wyniku

Interpretacja ma trzy elementy. Po pierwsze istotność: p = 0,034 jest mniejsze od 0,05, więc odrzucasz H₀. Po drugie kierunek: odczytujesz go z median albo z tego, która suma rang jest większa. Tu przeważają rangi dodatnie, czyli lęk po treningu jest niższy (mediana spadła z 36,5 do 30,5 punktu). Po trzecie wielkość: r = 0,61 oznacza duży efekt według progów Cohena.

Nie pisz, że „trening obniża lęk u wszystkich”. Dwie osoby z dwunastu miały wynik wyższy po treningu i dobrze to odnotować. Bez grupy kontrolnej nie przesądzaj też o przyczynowości, bo spadek mógł wynikać np. z oswojenia się z kwestionariuszem.

Jak opisać test Wilcoxona w APA 7

W tekście podaj test, mediany obu pomiarów, statystykę, p i wielkość efektu. Przykład:

Do porównania poziomu lęku przed treningiem i po nim zastosowano test rangowanych znaków Wilcoxona, ponieważ rozkład różnic odbiegał od normalnego (W = 0,86, p = 0,044). Poziom lęku po treningu (Mdn = 30,5, IQR = 28,00-34,00) był istotnie niższy niż przed treningiem (Mdn = 36,5, IQR = 27,75-42,00), T = 12, z = -2,12, p = 0,034, r = 0,61 (N = 12 par).

Więcej wzorów zapisu znajdziesz w poradniku jak zaraportować wynik testu w APA 7.

Test Wilcoxona dla jednej próby

Wersja jednopróbkowa sprawdza, czy mediana w populacji różni się od wartości, którą wskazujesz z góry, np. od środka skali. Mechanika jest identyczna: od każdego wyniku odejmujesz wartość testową i rangujesz różnice. Test dla par to w gruncie rzeczy test jednopróbkowy wykonany na różnicach względem zera.

Przykładowe dane: 10 studentów oceniło zajęcia na skali 0-100: 62, 55, 71, 48, 66, 59, 80, 54, 43, 68. Czy mediana różni się od 50? Różnice względem 50 wynoszą 12, 5, 21, -2, 16, 9, 30, 4, -7, 18. Ujemne różnice (-2 i -7) mają rangi 1 i 4, więc T^- = 5, T⁺ = 50 i T = 5. Dokładne p = 0,020, Z = -2,29, r = 2,29 / √10 = 0,73. Zapis: „Mediana oceny zajęć (Mdn = 60,5) była istotnie wyższa od punktu środkowego skali 50, T = 5, z = -2,29, p = 0,020, r = 0,73”.

Test Wilcoxona w SPSS, Statistica i jamovi

• SPSS: Analyze > Nonparametric Tests > Legacy Dialogs > 2 Related Samples, w polu par wskaż oba pomiary i zaznacz Wilcoxon. W tabeli Test Statistics znajdziesz Z i istotność asymptotyczną; tabela Ranks podaje liczbę i sumy rang dodatnich oraz ujemnych.
• Statistica (wersja angielska): w panelu startowym statystyk nieparametrycznych wybierz Comparing two dependent samples (variables), a następnie Wilcoxon matched pairs test.
• jamovi: Analyses > T-Tests > Paired Samples T-Test, zaznacz Wilcoxon rank. Wersję dla jednej próby uruchomisz w One Sample T-Test, wpisując wartość testową.

Jeśli nie masz pewności, czy Twoje dane wymagają testu Wilcoxona, czy testu t, sprawdź przewodnik „Który test wybrać?” w darmowych narzędziach.

Typowe błędy

• Użycie testu Manna-Whitneya do pomiarów przed i po u tych samych osób, co ignoruje sparowanie danych.
• Sprawdzanie normalności surowych wyników zamiast różnic.
• Raportowanie średnich zamiast median, choć test dotyczy rang.
• Pominięcie informacji o parach z różnicą zero i o tym, jak je potraktowano.
• Brak wielkości efektu albo brak informacji, czy N w r to liczba par, czy pomiarów.

Masz dane „przed i po” i chcesz otrzymać test wraz z tabelą i opisem APA? Zaznacz analizę dla prób zależnych w kreatorze wyceny. Po wgraniu pliku wskazujesz pomiary z listy kolumn, a test t albo Wilcoxona silnik dobierze do rozkładu różnic.

Najczęstsze pytania

Czym różni się test Wilcoxona od testu Manna-Whitneya?

Test rangowanych znaków Wilcoxona porównuje dwa pomiary tych samych osób, a test U Manna-Whitneya dwie niezależne grupy. Myląca nazwa wynika z tego, że Wilcoxon opisał też test sumy rang, który jest równoważny testowi Manna-Whitneya. Przy danych przed i po zawsze używasz wersji dla par.

Co podać w pracy po teście Wilcoxona?

Podaj mediany obu pomiarów (najlepiej z rozstępem międzykwartylowym), statystykę T lub W, wartość Z, p oraz wielkość efektu r. Dopisz, dlaczego wybrałeś test nieparametryczny, np. ze względu na rozkład różnic.

Jak policzyć wielkość efektu w teście Wilcoxona?

Najprościej r = |Z| / √N. Ustal, czy N to liczba par, czy liczba wszystkich pomiarów, i napisz to w pracy, bo obie praktyki występują w literaturze. Alternatywą jest korelacja rangowo-dwuseryjna dla par.

Czy test Wilcoxona porównuje mediany?

Formalnie sprawdza, czy rozkład różnic jest symetryczny wokół zera. Jeśli rozkład różnic jest w przybliżeniu symetryczny, wynik możesz interpretować jako przesunięcie mediany różnic. Przy silnie niesymetrycznych różnicach opisuj wynik ostrożniej.

Co zrobić z różnicami równymi zero?

Standardowa procedura Wilcoxona je pomija, co zmniejsza liczbę par. Jeśli zer jest dużo, napisz o tym w wynikach, a w razie wątpliwości porównaj wynik z wariantem Pratta, który zera uwzględnia przy rangowaniu.