Test t dla prób zależnych - pomiar przed i po, przykład i interpretacja

Gdy mierzysz te same osoby dwukrotnie, np. poziom lęku przed szkoleniem i po nim albo zakres ruchu przed rehabilitacją i po niej, masz do czynienia z próbami zależnymi (powiązanymi). Właściwym narzędziem jest wtedy test t dla prób zależnych, a nie test dla grup niezależnych. W tym wpisie zobaczysz, dlaczego to inny test, jakie ma założenia, jak go policzyć krok po kroku na przykładowych danych, jak policzyć wielkość efektu d_z, kiedy przejść na test Wilcoxona i jak zapisać wynik w APA 7.

Czym są próby zależne

Próby są zależne, gdy każdej obserwacji z pierwszego pomiaru odpowiada dokładnie jedna obserwacja z drugiego pomiaru. Najczęstsze układy w pracach dyplomowych to:

• pomiar przed i po interwencji u tych samych osób (terapia, trening, szkolenie),
• dwa warunki u tych samych osób (np. wynik przy muzyce i w ciszy),
• pary dobrane, np. matka i dziecko, dwoje partnerów, bliźnięta.

Jeśli Twoje dane to dwie różne grupy osób, potrzebujesz testu t-Studenta dla prób niezależnych. Jeśli pomiarów jest więcej niż dwa (np. przed, po i po miesiącu), właściwa jest ANOVA z powtarzanymi pomiarami.

Dlaczego to inny test niż dla grup niezależnych

Test dla prób zależnych analizuje różnice wewnątrz każdej osoby (wynik „po” minus „przed”). Dzięki temu usuwa wpływ stałych różnic między badanymi: osoba z wysokim wynikiem wyjściowym i osoba z niskim mogą zyskać tyle samo, a test patrzy tylko na zysk. Zwykle zwiększa to moc testu, czyli łatwiej wykryć realny efekt przy tej samej liczbie osób.

Matematycznie widać to we wzorze na odchylenie standardowe różnic: SD_d = √(SD₁² + SD₂² - 2 · r · SD₁ · SD₂). Im silniej korelują pomiary (r), tym mniejszy rozrzut różnic i tym większe t. Test dla grup niezależnych ignoruje tę korelację.

Hipotezy w teście t dla prób zależnych

• H₀: μ_d = 0, średnia różnica między pomiarami w populacji wynosi zero,
• H₁ dwustronna: μ_d ≠ 0,
• H₁ jednostronna: μ_d > 0 (albo < 0), gdy kierunek zmiany zapisałeś przed analizą.

Założenia: normalność różnic, nie surowych wyników

1. Zmienna zależna jest ilościowa.
2. Pary są od siebie niezależne (wynik jednej osoby nie wpływa na wynik innej).
3. Różnice między pomiarami mają rozkład zbliżony do normalnego. To założenie dotyczy różnic, a nie wyników „przed” i „po” osobno. Surowe wyniki mogą być skośne, a różnice mimo to normalne, i odwrotnie.
4. Brak skrajnych różnic, które dominowałyby średnią.

Normalność różnic sprawdzisz testem Shapiro-Wilka, histogramem lub wykresem Q-Q, które opisujemy w tekście jak sprawdzić normalność rozkładu. Przy kilkudziesięciu parach test t jest odporny na umiarkowane odstępstwa, przy kilkunastu parach rozkład różnic ma większe znaczenie.

Jak przygotować dane

Dane do testu dla prób zależnych układasz w formacie szerokim: jedna osoba to jeden wiersz, a oba pomiary to dwie osobne kolumny, np. samoocena_przed i samoocena_po. To inny układ niż przy grupach niezależnych, gdzie wszystkie wyniki stoją w jednej kolumnie, a druga kolumna koduje grupę. Jeśli w arkuszu wyniki „przed” i „po” tej samej osoby leżą w osobnych wierszach, program potraktuje je jak dwie grupy i policzy niewłaściwy test.

Zwróć uwagę na braki danych. Osoba, która nie wypełniła drugiego pomiaru, wypada z analizy w całości, bo nie da się dla niej policzyć różnicy. W opisie próby podaj więc, ile osób rozpoczęło badanie, a ile ma komplet obu pomiarów. Jeśli odpadło dużo osób, sprawdź, czy różniły się wynikiem wyjściowym od tych, które zostały, bo to może zniekształcić wniosek o zmianie.

Przed testem policz kolumnę różnic. Przyda się do sprawdzenia normalności, do histogramu i do wychwycenia błędów wprowadzania danych: różnica rzędu kilkudziesięciu punktów na skali 10-40 zwykle oznacza literówkę, a nie efekt programu.

Wzór i obliczenia

d_i = po_i - przed_i
t = d̄ / (SD_d / √n)
df = n - 1

Gdzie d̄ to średnia różnica, SD_d odchylenie standardowe różnic, a n liczba par. Przedział ufności dla średniej różnicy to d̄ ± t_kryt · SD_d / √n.

Test t dla prób zależnych: przykład

Przykładowe dane: 15 uczestników ośmiotygodniowego programu wypełniło skalę samooceny (10-40 punktów, wyższy wynik oznacza wyższą samoocenę) przed programem i po nim.

Krok po kroku: średnia różnica wynosi 2,53 punktu, a SD różnic 2,20. Błąd standardowy to 2,20 / √15 = 0,57, więc t = 2,53 / 0,57 = 4,46 przy df = 14. Wartość krytyczna dla α = 0,05 (dwustronnie) wynosi 2,14, a dokładne p = 0,0005, co w raporcie zapisujesz jako p < 0,001. Rozkład różnic nie odbiega od normalnego (p = 0,707), więc założenie jest spełnione. Przedział ufności [1,32; 3,75] nie obejmuje zera: przyrost samooceny jest dodatni i wynosi najpewniej od około 1,3 do 3,8 punktu.

Co by się stało, gdyby potraktować dane jak dwie grupy

Częsty błąd to wpisanie wyników „przed” i „po” jako dwóch niezależnych grup. Na tych samych danych test dla prób niezależnych dałby t(28) = 2,45, p = 0,021. Wynik nadal jest istotny, ale t jest prawie dwa razy mniejsze, a liczba stopni swobody sztucznie zawyżona (28 zamiast 14). Przy mniejszym efekcie taki błąd łatwo zamienia realną zmianę w wynik nieistotny. Recenzenci wychwytują go po samym df.

Wielkość efektu: d_z i d_av

Lakens (2013) opisuje dwie popularne miary dla prób zależnych:

d_z = d̄ / SD_d = t / √n
d_av = d̄ / [(SD_przed + SD_po) / 2]

W przykładzie d_z = 2,53 / 2,20 = 1,15 (to samo daje 4,46 / √15), a d_av = 2,53 / 2,84 = 0,89. Różnica bierze się z korelacji pomiarów: d_z mówi, jak duża jest zmiana w stosunku do rozrzutu zmian, a d_av w stosunku do rozrzutu wyników. d_av łatwiej porównać z badaniami na grupach niezależnych, d_z przydaje się do analizy mocy kolejnego badania. Podaj w pracy, którą miarę liczysz. Ogólnie o tym, dlaczego wielkość efektu jest ważniejsza niż sam próg p, piszemy we wpisie o wielkości efektu.

Test t dla prób zależnych: interpretacja

Wynik t(14) = 4,46, p < 0,001 oznacza, że gdyby w populacji nie było żadnej zmiany (H₀), tak duża średnia zmiana w próbie zdarzałaby się bardzo rzadko. Kierunek odczytujesz ze znaku średniej różnicy: liczyliśmy „po - przed”, więc wartość dodatnia to wzrost samooceny. Wielkość efektu d_z = 1,15 oznacza dużą zmianę. W tabeli różnic widać jednak, że 2 z 15 osób miały wynik niższy po programie, warto więc unikać sformułowań typu „program podnosi samoocenę każdego uczestnika”.

Bez grupy kontrolnej nie przypisuj zmiany wyłącznie programowi. Wzrost mógł wynikać też z upływu czasu, efektu ponownego badania albo regresji do średniej. Wystarczy jedno zdanie w ograniczeniach badania.

Gdy różnice nie są normalne: test Wilcoxona

Jeśli rozkład różnic jest wyraźnie skośny, zawiera skrajne wartości, próba jest mała albo zmienna jest porządkowa, użyj nieparametrycznego testu rangowanych znaków Wilcoxona. Dla porównania na naszych danych dałby on T = 7,5, z = -2,99, p = 0,003, r = 0,77 (N = 15 par), czyli ten sam wniosek. Przy normalnych różnicach test t ma zwykle nieco większą moc i pozwala podać przedział ufności dla średniej zmiany, dlatego tu pozostajemy przy nim.

Raport APA 7

Do porównania samooceny przed programem i po nim zastosowano test t dla prób zależnych. Rozkład różnic nie odbiegał od normalnego (W = 0,96, p = 0,707). Samoocena po programie (M = 28,40, SD = 2,80) była istotnie wyższa niż przed programem (M = 25,87, SD = 2,88), t(14) = 4,46, p < 0,001, d_z = 1,15. Średni przyrost wyniósł 2,53 punktu, 95% CI [1,32; 3,75].

Szczegółowe zasady zapisu statystyk opisujemy w poradniku jak zaraportować wynik testu w APA 7.

Test t dla prób zależnych w SPSS, Statistica i jamovi

• SPSS: Analyze > Compare Means and Proportions > Paired-Samples T Test (w starszych wersjach Compare Means), w polu par wskaż oba pomiary. Od wersji 27 opcja Estimate effect sizes dodaje tabelę wielkości efektu; sprawdź na wydruku, jaki standaryzator przyjęto.
• Statistica (wersja angielska): Basic Statistics and Tables, opcja t-test, dependent samples.
• jamovi: Analyses > T-Tests > Paired Samples T-Test. Zaznacz Effect size i test normalności, a jeśli różnice nie są normalne, dodatkowo Wilcoxon rank.

W badaniach interwencyjnych z fizjoterapii i pielęgniarstwa układ „przed i po” pojawia się bardzo często; przykłady takich analiz opisujemy na stronie statystyka do pracy z fizjoterapii. Jeśli masz gotowe dane, zaznacz test dla prób zależnych w kreatorze wyceny: raport zawiera sprawdzenie normalności różnic, test t albo Wilcoxona oraz tabelę w APA.

Typowe błędy

• Analiza pomiarów „przed” i „po” jako dwóch niezależnych grup.
• Sprawdzanie normalności surowych wyników zamiast różnic.
• Brak informacji, w którą stronę liczono różnicę, przez co znak t jest niejasny.
• Podanie d bez określenia, czy to d_z, czy d_av.
• Wnioskowanie o skuteczności interwencji bez grupy kontrolnej i bez zastrzeżeń.

Najczęstsze pytania

Kiedy stosować test t dla prób zależnych?

Gdy te same osoby zmierzono dwa razy (przed i po, w dwóch warunkach) albo gdy porównujesz pary dobrane. Zmienna musi być ilościowa, a różnice między pomiarami powinny mieć rozkład zbliżony do normalnego.

Czy normalność sprawdzam dla pomiaru przed i po osobno?

Nie. Założenie dotyczy rozkładu różnic między pomiarami. Policz różnicę dla każdej osoby i dla niej wykonaj test Shapiro-Wilka lub obejrzyj histogram.

Jak policzyć d Cohena dla prób zależnych?

Najczęściej jako d_z = średnia różnica / SD różnic, co równa się t / √n. Alternatywą jest d_av, w którym średnią różnicę dzielisz przez średnią z odchyleń standardowych obu pomiarów. W pracy napisz, której miary użyłeś.

Co zamiast testu t, gdy różnice nie są normalne?

Test rangowanych znaków Wilcoxona. Porównuje on rangi różnic, więc pojedyncze skrajne zmiany nie zaburzają wyniku tak bardzo jak w teście t. Raportujesz wtedy mediany, statystykę T lub W, Z, p i wielkość efektu r.

Jak zinterpretować ujemne t w teście dla prób zależnych?

Znak t zależy tylko od tego, w którą stronę liczysz różnicę. Przy różnicy „przed - po” spadek wyników da t dodatnie, przy „po - przed” ujemne. Napisz w pracy, jak liczono różnicę, i opisuj kierunek słowami.