Test t-Studenta dla prób niezależnych - wzór, założenia, przykład

Test t-Studenta dla prób niezależnych to podstawowe narzędzie do porównania średnich w dwóch grupach: kobiet i mężczyzn, grupy eksperymentalnej i kontrolnej, mieszkańców miast i wsi. W tym wpisie znajdziesz wzór, założenia, hipotezy, różnicę między testem jednostronnym i dwustronnym, rolę testu Levene'a i poprawki Welcha, wielkość efektu d Cohena oraz pełny przykład policzony na przykładowych danych z gotowym opisem w APA 7.

Kiedy stosować test t-Studenta dla prób niezależnych

Test stosujesz, gdy masz dwie niezależne grupy (każda osoba należy tylko do jednej z nich) i zmienną zależną mierzoną na skali ilościowej, np. wynik testu wiedzy, poziom stresu w punktach, czas reakcji. Jeśli te same osoby badasz dwa razy, potrzebujesz testu t dla prób zależnych. Jeśli grup jest więcej niż dwie, przechodzisz na analizę wariancji.

Wybór między testem t a jego nieparametryczną alternatywą omawiamy szczegółowo we wpisie test t-Studenta czy Mann-Whitney - jak wybrać. Tu zakładamy, że dane pasują do testu t.

Test t-Studenta: hipotezy

Hipotezy dotyczą średnich w populacjach, z których pochodzą grupy:

• H₀: μ₁ = μ₂ (średnie w populacjach są równe),
• H₁ dwustronna: μ₁ ≠ μ₂,
• H₁ jednostronna: μ₁ > μ₂ albo μ₁ < μ₂.

W pracy zapisz je słowami, np. „H₁: studenci uczeni metodą warsztatową uzyskują inne wyniki testu wiedzy niż studenci uczeni wykładem”.

Test t-Studenta: założenia

1. Niezależność obserwacji: wyniki osób nie wpływają na siebie, a grupy się nie pokrywają.
2. Zmienna zależna ilościowa (przedziałowa lub ilorazowa).
3. Rozkład zmiennej w każdej grupie zbliżony do normalnego. Przy kilkudziesięciu osobach w grupie test jest odporny na umiarkowane odstępstwa, przy małych grupach normalność ma większe znaczenie. Jak ją ocenić, opisujemy w tekście jak sprawdzić normalność rozkładu.
4. Równość wariancji w grupach. To założenie dotyczy tylko klasycznego testu Studenta. Wersja Welcha go nie wymaga.

Brak normalności przy małych grupach, silna skośność lub wartości odstające to sygnał, aby rozważyć test U Manna-Whitneya.

Jak przygotować dane

Wszystkie wyniki wpisujesz w jednej kolumnie (np. wiedza), a w drugiej kolumnie kodujesz grupę (np. 1 = warsztaty, 2 = wykład). Każda osoba to jeden wiersz. Częsty błąd to wpisanie grup w dwóch osobnych kolumnach obok siebie: część programów potraktuje je wtedy jak dwa pomiary tych samych osób. Przed testem przejrzyj statystyki opisowe i wykres pudełkowy w grupach, aby wychwycić wartości spoza skali i obserwacje odstające. Sprawdź też, czy liczebności grup są zbliżone; przy wyraźnie nierównych grupach różnice wariancji mają większy wpływ na wynik testu Studenta, co jest kolejnym argumentem za testem Welcha.

Test t-Studenta: wzór

W klasycznym teście Studenta obie wariancje łączy się we wspólną (ważoną) wariancję:

s_p² = [(n₁ - 1)s₁² + (n₂ - 1)s₂²] / (n₁ + n₂ - 2)
t = (M₁ - M₂) / √[s_p² (1/n₁ + 1/n₂)]
df = n₁ + n₂ - 2

W teście Welcha każda grupa wnosi własną wariancję, a stopnie swobody liczy się przybliżeniem Welcha-Satterthwaite'a, dlatego zwykle nie są liczbą całkowitą:

t = (M₁ - M₂) / √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)
df = (s₁²/n₁ + s₂²/n₂)² / [(s₁²/n₁)²/(n₁ - 1) + (s₂²/n₂)²/(n₂ - 1)]

Licznik obu wzorów jest ten sam: różnica średnich. Mianownik to błąd standardowy tej różnicy. Im większa różnica w stosunku do rozrzutu wyników, tym większe t i mniejsze p.

Test Levene'a i poprawka Welcha

Przez lata uczono procedury dwustopniowej: najpierw test Levene'a, a potem, zależnie od wyniku, wiersz „równe wariancje” albo „nierówne wariancje” w tabeli SPSS. Delacre, Lakens i Leys (2017) pokazali w symulacjach, że to podejście ma słabe strony. Test Levene'a przy małych próbach często nie wykrywa realnych różnic wariancji, a przy nierównych wariancjach i nierównych grupach test Studenta zawyża lub zaniża odsetek błędów I rodzaju. Test Welcha lepiej kontroluje ten błąd, a gdy wariancje są równe, traci bardzo niewiele mocy. Autorzy rekomendują więc test Welcha jako domyślny.

W praktyce masz dwie drogi, obie do obrony przed promotorem: (1) raportujesz test Welcha zawsze i piszesz w metodologii, że nie zakłada on równości wariancji, albo (2) trzymasz się wymogu promotora i podajesz test Levene'a, ale wybór wiersza uzasadniasz jego wynikiem. Więcej o samym teście Levene'a znajdziesz we wpisie jednorodność wariancji i test Levene'a.

Przykład: warsztaty czy wykład

Przykładowe dane: wynik testu wiedzy (0-50 punktów) w dwóch grupach studentów. 14 osób uczyło się metodą warsztatową, 16 osób na tradycyjnym wykładzie.

Statystyki opisowe i wyniki testów:

Różnica średnich wynosi 38,07 - 33,63 = 4,45 punktu (z dokładnych średnich). Wspólne odchylenie standardowe s_p = 4,62, a błąd standardowy różnicy w teście Studenta 1,69, stąd t = 4,45 / 1,69 = 2,63. W teście Welcha błąd standardowy wynosi 1,66, a df = 27,38. Rozkłady w obu grupach nie odbiegają od normalnego, test Levene'a nie wykazał różnicy wariancji, więc obie wersje prowadzą do tego samego wniosku. Gdyby grupy różniły się wyraźnie liczebnością i rozrzutem, wyniki mogłyby się rozejść, i wtedy właśnie Welch chroni przed błędnym wnioskiem.

Wielkość efektu: d Cohena

d = (M₁ - M₂) / s_p
g Hedgesa = d · [1 - 3 / (4(n₁ + n₂) - 9)]

W przykładzie d = 4,45 / 4,62 = 0,96, a po korekcie dla małych prób g = 0,94. Według umownych progów Cohena (0,2 mały, 0,5 średni, 0,8 duży) to efekt duży: średnie dzieli prawie jedno odchylenie standardowe. Lakens (2013) opisuje, kiedy raportować d, a kiedy g, oraz jak liczyć je z wydruku programu. Przy wyraźnie różnych wariancjach w grupach część autorów zaleca warianty d, które nie opierają się na wspólnym odchyleniu standardowym, więc w pracy dopisz, której wersji użyłeś.

Podaj też 95% przedział ufności różnicy średnich. Tu wynosi on od około 1 do 7,9 punktu, co mówi czytelnikowi, jak precyzyjne jest oszacowanie. O interpretacji przedziałów piszemy w tekście o przedziale ufności.

Test t-Studenta jednostronny i dwustronny

Test dwustronny sprawdza, czy średnie się różnią, w dowolnym kierunku. Test jednostronny sprawdza różnicę tylko w kierunku przewidzianym z góry. Przy tym samym t jednostronne p jest o połowę mniejsze, o ile wynik idzie w przewidywanym kierunku. W przykładzie p jednostronne wynosi 0,007 (Student) i 0,006 (Welch). Wartość krytyczna t przy df = 28 i α = 0,05 to 2,05 dla testu dwustronnego i 1,70 dla jednostronnego.

Test jednostronny jest uprawniony tylko wtedy, gdy kierunek wynika z teorii lub wcześniejszych badań i zapisałeś go w hipotezie przed analizą. Jeśli wynik wyszedłby w przeciwnym kierunku, nie możesz go wtedy uznać za istotny. Zmiana testu na jednostronny po zobaczeniu p = 0,08 jest błędem metodologicznym, który recenzenci wychwytują. Gdy masz wątpliwości, wybierz test dwustronny, bo tego zwykle oczekują promotorzy.

Interpretacja wyniku

Wynik t(27,38) = 2,68, p = 0,012 oznacza, że przy założeniu braku różnicy w populacjach różnica co najmniej tak duża jak zaobserwowana pojawiałaby się rzadko. Odrzucasz H₀. Kierunek odczytujesz ze średnich: grupa warsztatowa miała wyższy wynik o średnio 4,45 punktu. Wielkość efektu d = 0,96 wskazuje, że różnica jest duża także praktycznie. Nie pisz jednak, że metoda warsztatowa „powoduje” lepsze wyniki, jeśli grupy nie były przydzielane losowo.

Raport APA 7

Do porównania wyników testu wiedzy zastosowano test t-Studenta dla prób niezależnych z poprawką Welcha. Studenci uczeni metodą warsztatową (M = 38,07, SD = 3,87) uzyskali istotnie wyższe wyniki niż studenci uczeni wykładem (M = 33,63, SD = 5,19), t(27,38) = 2,68, p = 0,012, d = 0,96, 95% CI różnicy [1,04; 7,85].

Jeśli raportujesz klasyczny test Studenta, zapis wygląda tak: t(28) = 2,63, p = 0,014, a w opisie metod dodajesz wynik testu Levene'a, F(1, 28) = 1,61, p = 0,214.

Test t w SPSS, Statistica i jamovi

• SPSS: Analyze > Compare Means and Proportions > Independent-Samples T Test (w starszych wersjach menu nazywa się Compare Means). Od wersji 27 możesz zaznaczyć Estimate effect sizes, aby otrzymać d Cohena i g Hedgesa. Od wersji 31 test Levene'a trzeba zaznaczyć ręcznie. Wynik Welcha to wiersz Equal variances not assumed.
• Statistica (wersja angielska): Basic Statistics and Tables, opcja t-test, independent, by groups. Wariant z oddzielnymi estymacjami wariancji (Welch) włączysz na karcie Options.
• jamovi: Analyses > T-Tests > Independent Samples T-Test, zaznacz Welch's i Effect size, a w sprawdzaniu założeń opcjonalnie test Levene'a. Tu też wybierzesz hipotezę jednostronną.

Planujesz badanie i chcesz wiedzieć, ilu osób potrzeba, aby wykryć efekt średniej wielkości? Skorzystaj z kalkulatora wielkości próby w darmowych narzędziach. Gdy dane są już zebrane, porównanie grup z testem Welcha, d Cohena i tabelą APA zamówisz w kreatorze wyceny.

Typowe błędy

• Użycie testu dla prób niezależnych do pomiarów przed i po u tych samych osób.
• Raportowanie samego p bez średnich, SD i wielkości efektu.
• Przejście na test jednostronny po obejrzeniu wyniku.
• Podanie wyniku testu Levene'a jako głównego wyniku analizy.
• Zaokrąglenie df testu Welcha do liczby całkowitej bez informacji, że to test Welcha.

Najczęstsze pytania

Jakie są założenia testu t-Studenta dla prób niezależnych?

Niezależne obserwacje w dwóch rozłącznych grupach, zmienna ilościowa, rozkład w grupach zbliżony do normalnego (ważniejsze przy małych grupach) i, w klasycznej wersji Studenta, równe wariancje. Test Welcha nie wymaga równości wariancji.

Kiedy użyć testu Welcha zamiast testu Studenta?

Coraz częściej zaleca się test Welcha domyślnie, bo dobrze kontroluje błąd I rodzaju przy nierównych wariancjach, a przy równych traci niewiele mocy. Szczególnie przydaje się, gdy grupy różnią się liczebnością i rozrzutem wyników.

Czym różni się test t jednostronny od dwustronnego?

Dwustronny sprawdza różnicę w dowolnym kierunku, jednostronny tylko w kierunku przewidzianym z góry. Jednostronne p jest dwa razy mniejsze, ale wolno go użyć tylko wtedy, gdy kierunek zapisałeś w hipotezie przed analizą.

Jak policzyć d Cohena dla testu t?

Różnicę średnich dzielisz przez wspólne odchylenie standardowe obu grup. Przy małych próbach możesz podać skorygowane g Hedgesa. Umowne progi to 0,2, 0,5 i 0,8 dla efektu małego, średniego i dużego.

Co zrobić, gdy test Levene'a jest istotny?

Odczytaj wynik testu Welcha (w SPSS wiersz Equal variances not assumed). Jeśli od początku raportujesz test Welcha, wynik testu Levene'a nie zmienia wyboru testu.