Stopnie swobody i rozkład t-Studenta - co to jest i jak je liczyć

Podstawy · 9 min czytania

W skrócie: stopnie swobody to liczba wartości, które mogą się swobodnie zmieniać po uwzględnieniu parametrów oszacowanych z danych, np. n - 1 przy jednej średniej. Wyznaczają kształt rozkładu t, F lub chi-kwadrat, a więc wartość krytyczną i p. Rozkład t-Studenta ma cięższe ogony niż normalny i przy małej liczbie df wymaga wyższej wartości krytycznej (2,571 przy df = 5 zamiast 1,96), ale od około 30-100 df prawie się od niego nie różni. W zapisie APA df podajesz w nawiasie po symbolu statystyki, np. t(38) albo F(2, 87).

Stopnie swobody (ang. degrees of freedom, df) stoją w nawiasie przy niemal każdym wyniku testu: t(38), F(2, 87), χ²(2). Większość studentów przepisuje je z wydruku, nie wiedząc, skąd się biorą, a potem nie umie odpowiedzieć promotorowi, dlaczego w teście Welcha wyszło „15,95”. W tym wpisie wyjaśniam stopnie swobody intuicyjnie, zbieram w jednej tabeli wzory dla typowych testów, pokazuję, czym rozkład t-Studenta różni się od rozkładu normalnego (z policzonymi wartościami krytycznymi), i podpowiadam, jak zapisać df w stylu APA.

Stopnie swobody - co to jest

Stopnie swobody to liczba wartości, które mogą się zmieniać swobodnie, gdy część informacji o danych jest już ustalona. Najprostszy przykład: masz pięć liczb i wiesz, że ich średnia wynosi 10, czyli suma to 50. Cztery pierwsze możesz wybrać dowolnie, np. 8, 12, 7 i 11. Piąta nie jest już wolna, bo musi dopełnić sumę do 50, więc wynosi 12. Przy znanej średniej pięć liczb ma więc 4 stopnie swobody.

Tak samo jest przy liczeniu odchylenia standardowego z próby. Odchylenia od średniej zawsze sumują się do zera, więc z n odchyleń tylko n - 1 jest niezależnych. Dlatego wariancję z próby dzieli się przez n - 1, a nie przez n, co szerzej wyjaśnia wpis odchylenie standardowe a błąd standardowy. Ogólną zasadę dobrze ujęła Walker (1940): liczba stopni swobody to liczba obserwacji pomniejszona o liczbę parametrów, które oszacowano z tych samych danych i które „wiążą” obserwacje.

Drugi przykład dotyczy tabeli krzyżowej 2 × 2. Jeśli sumy w wierszach i kolumnach są znane, wystarczy wpisać jedną komórkę, a trzy pozostałe wynikają z odejmowania. Taka tabela ma więc 1 stopień swobody, a tabela 3 × 4 ma ich (3 - 1)(4 - 1) = 6.

Po co statystyce stopnie swobody

Stopnie swobody nie są ozdobnikiem. Wyznaczają dokładny kształt rozkładu, z którym porównuje się statystykę testu, a więc wartość krytyczną i wartość p. Ta sama statystyka t = 2,10 daje przy 5 stopniach swobody p = 0,090, przy 10 p = 0,062, przy 30 p = 0,044, a przy 100 p = 0,038. Im mniej stopni swobody, tym mniej informacji w danych i tym większa wartość statystyki potrzebna do odrzucenia hipotezy zerowej.

Stopnie swobody pełnią też funkcję kontrolną. Z t(38) w teście dla dwóch grup niezależnych czytelnik od razu wie, że analizowano 40 osób. Jeśli w opisie próby jest 45 osób, to znak, że pięć osób wypadło z analizy, np. przez braki danych, i trzeba to wyjaśnić.

Stopnie swobody dla typowych testów

Analiza	Stopnie swobody	Przykład
Test t dla jednej próby	n - 1	n = 25: df = 24
Test t dla prób niezależnych (Studenta)	n₁ + n₂ - 2	20 i 20 osób: df = 38
Test t Welcha	wzór Welcha-Satterthwaite’a, zwykle liczba niecałkowita	15 i 35 osób, różne wariancje: df = 15,95
Test t dla prób zależnych	n - 1, gdzie n to liczba par	25 osób przed i po: df = 24
ANOVA jednoczynnikowa	df₁ = k - 1, df₂ = N - k	3 grupy po 30 osób: F(2, 87)
ANOVA z powtarzanymi pomiarami	k - 1 oraz (k - 1)(n - 1), przy poprawce Greenhouse’a-Geissera oba mnożone przez ε	3 pomiary, 20 osób: F(2, 38)
Chi-kwadrat niezależności	(r - 1)(c - 1)	tabela 3 × 4: df = 6
Chi-kwadrat zgodności	k - 1 (minus liczba parametrów oszacowanych z danych)	4 kategorie: df = 3
Korelacja Pearsona	n - 2	n = 50: r(48)
Regresja liniowa, test F modelu	df₁ = p, df₂ = n - p - 1	3 predyktory, n = 100: F(3, 96)
Regresja liniowa, test t współczynnika	n - p - 1	3 predyktory, n = 100: t(96)
Test Levene’a	k - 1, N - k	3 grupy po 30 osób: F(2, 87)

Oznaczenia: n to liczebność próby lub grupy, N łączna liczebność, k liczba grup lub pomiarów, r i c liczba wierszy i kolumn tabeli, p liczba predyktorów w regresji. W ANOVA pierwszy stopień swobody (licznik) dotyczy różnic między grupami, a drugi (mianownik) zmienności wewnątrz grup. W korelacji odejmujesz 2, bo z danych szacujesz dwa parametry prostej: wyraz wolny i nachylenie. Przy ANOVA z powtarzanymi pomiarami i poprawce na brak sferyczności df stają się ułamkowe, co opisuje wpis o ANOVA z powtarzanymi pomiarami i sferyczności.

Dlaczego w teście Welcha df nie są liczbą całkowitą

Klasyczny test t dla prób niezależnych zakłada równe wariancje w grupach. Test Welcha (1947) tego nie wymaga, a cenę płaci w stopniach swobody, które wylicza się z wariancji i liczebności grup:

df = (s₁²/n₁ + s₂²/n₂)² / [ (s₁²/n₁)²/(n₁ - 1) + (s₂²/n₂)²/(n₂ - 1) ]

Przykładowe dane: grupa A liczy 15 osób (SD = 10), grupa B 35 osób (SD = 4). Wtedy s₁²/n₁ = 100 / 15 = 6,667, a s₂²/n₂ = 16 / 35 = 0,457. Licznik wynosi (6,667 + 0,457)² = 50,75, mianownik 6,667² / 14 + 0,457² / 34 = 3,175 + 0,006 = 3,181, więc df = 50,75 / 3,181 = 15,95. Klasyczny test Studenta miałby df = 15 + 35 - 2 = 48.

Wynik jest znacznie bliższy liczebności mniejszej grupy, bo to ona, z dużą wariancją, odpowiada za prawie całą niepewność. Wartość krytyczna rośnie z 2,011 (df = 48) do 2,120 (df = 15,95), więc test staje się ostrożniejszy. Stopnie swobody Welcha zawsze mieszczą się między mniejszą z liczb n₁ - 1 i n₂ - 1 a sumą n₁ + n₂ - 2. Kiedy wybrać ten test, opisują wpisy o teście t-Studenta dla prób niezależnych oraz o teście Levene’a.

Rozkład t-Studenta

Rozkład t-Studenta opisał William Gosset, publikujący pod pseudonimem Student (1908). Problem był praktyczny: przy małej próbie nie znasz odchylenia standardowego populacji σ i zastępujesz je odchyleniem z próby s. To dodatkowe źródło niepewności sprawia, że statystyka (x̄ - μ) / (s / √n) nie ma rozkładu normalnego, tylko rozkład t z n - 1 stopniami swobody.

Rozkład t jest, podobnie jak normalny, symetryczny wokół zera i ma kształt dzwonu, ale niższy wierzchołek i cięższe ogony. Ma tylko jeden parametr: liczbę stopni swobody. Jego wariancja wynosi df / (df - 2), czyli dla 5 stopni swobody 1,67, dla 10 stopni 1,25, a dla 30 stopni 1,07. Im więcej stopni swobody, tym bardziej rozkład t upodabnia się do standardowego rozkładu normalnego, a przy nieskończenie wielu staje się z nim identyczny.

Rozkład t-Studenta a rozkład normalny - wartości krytyczne

Różnicę najlepiej widać w wartościach krytycznych, czyli granicach, powyżej których wynik uznaje się za istotny. Dla rozkładu normalnego przy dwustronnym α = 0,05 granica wynosi 1,96. Dla rozkładu t jest zawsze wyższa:

df	dwustronnie α = 0,05	dwustronnie α = 0,01	jednostronnie α = 0,05	P(\|T\| > 1,96)
1	12,706	63,657	6,314	0,300
2	4,303	9,925	2,920	0,189
5	2,571	4,032	2,015	0,107
10	2,228	3,169	1,812	0,078
20	2,086	2,845	1,725	0,064
30	2,042	2,750	1,697	0,059
50	2,009	2,678	1,676	0,056
100	1,984	2,626	1,660	0,053
1 000	1,962	2,581	1,646	0,050
∞ (rozkład normalny)	1,960	2,576	1,645	0,050

Ostatnia kolumna pokazuje, co by się stało, gdyby przy małej próbie użyć granicy 1,96 z rozkładu normalnego. Przy 5 stopniach swobody prawdopodobieństwo przekroczenia tej granicy, gdy hipoteza zerowa jest prawdziwa, wynosi prawie 11%, a nie 5%. Odsetek fałszywych alarmów byłby więc ponad dwukrotnie większy. Od około 30 stopni swobody różnice robią się niewielkie, a od 100 praktycznie znikają. Kształt i własności rozkładu normalnego, do którego dąży rozkład t, opisuje wpis o rozkładzie normalnym.

Rozkład t-Studenta - tablice i programy

W tablicach rozkładu t wiersze odpowiadają stopniom swobody, a kolumny poziomom istotności. Zwróć uwagę, czy kolumna dotyczy testu jedno- czy dwustronnego, bo ta sama liczba bywa opisana jako α = 0,05 (dwustronnie) albo α = 0,025 (jednostronnie). Jeśli Twoich stopni swobody nie ma w tablicy (np. df = 43), weź najbliższą mniejszą wartość, np. 40. To podejście ostrożne, bo wartość krytyczna jest wtedy nieco wyższa.

Dziś tablice są potrzebne głównie na egzaminie, bo programy podają dokładne p. Wartość krytyczną policzysz w Excelu funkcją T.INV.2T(0.05,10) (wersja angielska), w R poleceniem qt(0.975, 10), a w Pythonie scipy.stats.t.ppf(0.975, 10). Każde z nich zwróci 2,228 dla 10 stopni swobody.

Gdzie stopnie swobody pojawiają się w zapisie APA

W stylu APA stopnie swobody podaje się w nawiasie bezpośrednio po symbolu statystyki, a przy statystyce F dwie liczby oddziela się przecinkiem. Przykładowe zapisy:

Analiza	Zapis
Test t dla prób niezależnych	t(38) = 2,15, p = 0,038
Test t Welcha	t(15,95) = 2,25, p = 0,039 (dane z przykładu wyżej, średnie 58 i 52 punkty)
Test t dla prób zależnych	t(24) = -2,60, p = 0,016
ANOVA	F(2, 87) = 4,12, p = 0,020
Regresja (test modelu)	F(3, 96) = 5,40, p = 0,002
Chi-kwadrat	χ²(2, N = 120) = 6,30, p = 0,043
Korelacja Pearsona	r(48) = 0,31, p = 0,028

Przy chi-kwadrat APA zaleca podanie w nawiasie także liczebności N. W polskim tekście, przy przecinku dziesiętnym, przecinek w F(2, 87) zostaje, bo oddziela dwie liczby całkowite i nie da się go pomylić z ułamkiem. Więcej przykładów, także z wielkością efektu, znajdziesz we wpisie APA 7 - jak zaraportować wynik testu.

Typowe błędy

Podanie liczebności próby zamiast stopni swobody, np. t(40) zamiast t(38) przy dwóch grupach po 20 osób.
Zaokrąglenie df z testu Welcha do liczby całkowitej bez informacji, że użyto testu Welcha.
Pominięcie drugiej liczby przy statystyce F.
W chi-kwadrat: liczenie df jako liczby komórek minus 1 zamiast (r - 1)(c - 1).
Niezgodność df z opisem próby bez wyjaśnienia, skąd się wzięła (braki danych, wykluczenia).

Raport z wyliczenia automatycznego podaje każdy wynik z właściwymi stopniami swobody w zapisie APA, więc nie musisz ich liczyć ręcznie. Dobrze jednak rozumieć, skąd się biorą, bo to częste pytanie na obronie.

Najczęstsze pytania

Stopnie swobody - co to w prostych słowach?

To liczba informacji w danych, które pozostają „wolne” po oszacowaniu potrzebnych parametrów. Jeśli znasz średnią pięciu liczb, swobodnie możesz wybrać tylko cztery, piąta wynika z sumy. Dlatego przy jednej średniej df wynosi n - 1.

Jak obliczyć stopnie swobody w teście t?

Dla jednej próby i dla prób zależnych df = n - 1 (n to liczba osób lub par). Dla dwóch prób niezależnych w klasycznym teście Studenta df = n1 + n2 - 2. W teście Welcha df liczy się ze wzoru Welcha-Satterthwaite’a i zwykle wychodzi liczba niecałkowita.

Czym rozkład t-Studenta różni się od rozkładu normalnego?

Oba są symetryczne i mają kształt dzwonu, ale rozkład t ma cięższe ogony, więc wymaga wyższych wartości krytycznych. Przy 10 stopniach swobody granica dla α = 0,05 wynosi 2,228 zamiast 1,96. Wraz ze wzrostem df rozkład t zbliża się do normalnego.

Jak czytać tablice rozkładu t-Studenta?

Znajdź wiersz z liczbą stopni swobody i kolumnę z poziomem istotności, sprawdzając, czy tablica dotyczy testu jedno- czy dwustronnego. Jeśli Twojej liczby df nie ma w tablicy, weź najbliższą mniejszą. Jeśli wartość bezwzględna statystyki t przekracza odczytaną liczbę, wynik jest istotny.

Dlaczego w teście Welcha stopnie swobody są ułamkiem?

Bo test Welcha nie zakłada równych wariancji i wylicza df z wariancji oraz liczebności obu grup. Wynik leży między liczebnością mniejszej grupy minus 1 a sumą liczebności minus 2. W zapisie APA podaje się go zwykle z dwoma miejscami po przecinku, np. t(15,95).

Źródła:

Walker, H. M. (1940). Degrees of freedom. Journal of Educational Psychology, 31(4), 253-269. https://doi.org/10.1037/h0054588
Student. (1908). The probable error of a mean. Biometrika, 6(1), 1-25. https://doi.org/10.2307/2331554
Welch, B. L. (1947). The generalization of „Student’s” problem when several different population variances are involved. Biometrika, 34(1/2), 28-35. https://doi.org/10.2307/2332510
American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000
Aczel, A. D., & Sounderpandian, J. (2018). Statystyka w zarządzaniu (wyd. 2). Wydawnictwo Naukowe PWN.

Policzymy to za Ciebie

Test dobrany do hipotez, tabele, wykresy i opis w standardzie APA.

Wyceń analizę

Artykuł ma charakter edukacyjny. W razie wątpliwości skorzystaj z kreatora doboru analiz lub napisz do statystyka.