Rozkład normalny - co to jest, wzór, reguła 68-95-99,7 i tablica

Rozkład normalny pojawia się w niemal każdym podręczniku statystyki i w co drugim pytaniu promotora o założenia testów. W tym wpisie wyjaśniam, czym jest rozkład normalny (zwany też rozkładem Gaussa), jak wygląda jego wzór, co oznaczają parametry μ i σ, skąd się bierze reguła 68-95-99,7, jak standaryzować wyniki i jak odczytać prawdopodobieństwo z tablicy. Wszystkie przykłady są policzone, więc możesz sprawdzić każdy krok.

Rozkład normalny - co to jest

Rozkład normalny to ciągły rozkład prawdopodobieństwa o charakterystycznym kształcie dzwonu. Jest symetryczny względem środka, ma jeden wierzchołek, a średnia, mediana i dominanta leżą w tym samym punkcie. Im dalej od środka, tym rzadziej pojawiają się wartości, przy czym ogony rozciągają się teoretycznie w nieskończoność, choć bardzo szybko robią się „cienkie”. Nazwa rozkład normalny Gaussa pochodzi od Carla Friedricha Gaussa, który używał go do opisu błędów pomiaru.

Trzeba od razu rozróżnić dwie rzeczy: rozkład empiryczny, czyli to, jak faktycznie rozkładają się Twoje dane, oraz rozkład teoretyczny, czyli matematyczny model (Altman i Bland, 1995). Żadne prawdziwe dane nie są idealnie normalne. Pytanie w analizie brzmi więc nie „czy dane są normalne”, tylko „czy są na tyle zbliżone do normalnych, że model się sprawdza”. Dobrze opisuje on np. wzrost w jednorodnej grupie, błędy pomiaru czy sumy punktów z testu złożonego z wielu pytań. Źle opisuje dochody, czas reakcji, liczbę wizyt u lekarza i inne zmienne z długim prawym ogonem.

Rozkład normalny - wzór na gęstość

Krzywą dzwonową opisuje funkcja gęstości prawdopodobieństwa:

f(x) = [1 / (σ√(2π))] · e^{-(x - μ)2 / (2σ2)}

• μ (mi) to średnia rozkładu, czyli jego środek,
• σ (sigma) to odchylenie standardowe, czyli miara rozrzutu, a σ² to wariancja,
• e ≈ 2,718 to podstawa logarytmu naturalnego, a π ≈ 3,1416.

Wzór wygląda groźnie, ale czyta się go prosto. Wykładnik zawiera kwadrat odległości od średniej, (x - μ)², ze znakiem minus. Dlatego krzywa jest symetryczna (odległość w lewo i w prawo daje to samo) i szybko opada, gdy oddalasz się od środka. Ułamek przed e sprawia, że całe pole pod krzywą wynosi dokładnie 1. Skrótowo zapisuje się to jako X ~ N(μ, σ²), np. N(60, 8²) to rozkład o średniej 60 i odchyleniu standardowym 8. Uważaj, bo część źródeł w nawiasie podaje σ zamiast σ².

Sama wartość gęstości nie jest prawdopodobieństwem. Dla standardowego rozkładu normalnego f(0) = 0,3989, f(1) = 0,2420, a f(2) = 0,0540, ale prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie jednej konkretnej wartości wynosi zero. Prawdopodobieństwo to zawsze pole pod krzywą w jakimś przedziale, np. „wynik poniżej 70” albo „wynik między 50 a 70”. Te pola odczytuje się z tablic albo liczy w programie.

Parametry μ i σ - co zmieniają

Rozkład normalny jest w pełni opisany przez dwie liczby. Średnia μ przesuwa krzywą w lewo lub w prawo, nie zmieniając jej kształtu. Odchylenie standardowe σ rozciąga lub ściska krzywą: im większe σ, tym niższy i szerszy dzwon. Wysokość wierzchołka wynosi 1 / (σ√(2π)), więc dla N(60, 8²) jest to 0,0499, a dla N(60, 4²) dwa razy więcej, 0,0997. Pole pod obiema krzywymi jest takie samo, równe 1.

W badaniu nie znasz μ i σ populacji, tylko szacujesz je średnią M i odchyleniem standardowym SD z próby. Różnicę między SD a błędem standardowym średniej, a także wzór na SD z poprawką n - 1, wyjaśnia wpis odchylenie standardowe a błąd standardowy.

Reguła 68-95-99,7 (reguła trzech sigm)

W każdym rozkładzie normalnym, niezależnie od wartości μ i σ, ten sam odsetek obserwacji mieści się w tej samej liczbie odchyleń standardowych od średniej. Dla przykładowego rozkładu N(60, 8²):

Z reguły wynika też, skąd w statystyce bierze się liczba 1,96: to odległość od średniej (w odchyleniach standardowych), która obejmuje dokładnie 95% rozkładu. Poza przedziałem μ ± 3σ leży tylko 0,27% obserwacji, czyli mniej więcej 3 na 1 000. Dlatego wartości oddalone od średniej o ponad 3 SD traktuje się jako kandydatów na obserwacje odstające, co dokładniej opisuje wpis o wartościach odstających. Pamiętaj, że reguła działa tylko dla rozkładów zbliżonych do normalnego.

Standaryzacja i wynik z

Każdy rozkład normalny można sprowadzić do jednego, standardowego rozkładu normalnego N(0, 1), o średniej 0 i odchyleniu standardowym 1. Służy do tego standaryzacja:

z = (x - μ) / σ

Wynik z mówi, o ile odchyleń standardowych dana wartość leży powyżej (z dodatnie) lub poniżej (z ujemne) średniej. Dzięki temu wystarcza jedna tablica dla wszystkich rozkładów normalnych. Standaryzacja pozwala też porównać wyniki z różnych skal. Przykładowe dane: student uzyskał 70 punktów w teście o rozkładzie N(60, 8²), czyli z = (70 - 60) / 8 = 1,25, oraz 115 punktów w teście o rozkładzie N(100, 15²), czyli z = (115 - 100) / 15 = 1,00. Choć 115 to „więcej punktów”, na tle innych osób lepiej wypadł w pierwszym teście.

Rozkład normalny - tablica i jak ją czytać

Tablica standardowego rozkładu normalnego podaje wartości dystrybuanty Φ(z), czyli prawdopodobieństwo, że zmienna Z przyjmie wartość nie większą niż z: Φ(z) = P(Z ≤ z). W klasycznych tablicach wiersz to z z jednym miejscem po przecinku, a kolumna to druga cyfra po przecinku. Poniżej wycinek z najczęściej używanymi wartościami:

Tablice zawierają zwykle tylko dodatnie z, bo rozkład jest symetryczny: Φ(-z) = 1 - Φ(z). Na przykład Φ(-1,00) = 1 - 0,8413 = 0,1587. Sprawdź też nagłówek tablicy. Część podręczników podaje nie Φ(z), lecz pole od 0 do z, czyli Φ(z) - 0,5. Dla z = 1,00 taka tablica pokaże 0,3413 zamiast 0,8413.

Zamiast tablicy możesz użyć programu. W Excelu funkcja ROZKŁ.NORMALNY.S(1,25;PRAWDA) (w wersji angielskiej NORM.S.DIST(1.25,TRUE)) zwraca Φ(1,25), a wartość z dla zadanego prawdopodobieństwa da w wersji angielskiej NORM.S.INV(0.9). W R odpowiednikami są pnorm(1.25) i qnorm(0.9), a w Pythonie scipy.stats.norm.cdf(1.25) i norm.ppf(0.9).

Przykłady obliczeń krok po kroku

Przykładowe dane: wyniki testu wiedzy w dużej populacji studentów mają rozkład zbliżony do normalnego o średniej μ = 60 punktów i odchyleniu standardowym σ = 8 punktów.

1. Jaki odsetek studentów ma mniej niż 70 punktów? Standaryzujesz: z = (70 - 60) / 8 = 1,25. Z tablicy Φ(1,25) = 0,8944, czyli około 89,4%.
2. Jaki odsetek ma więcej niż 70 punktów? To dopełnienie: 1 - 0,8944 = 0,1056, czyli około 10,6%.
3. Jaki odsetek ma od 50 do 70 punktów? Dla 50 punktów z = -1,25, więc Φ(-1,25) = 1 - 0,8944 = 0,1056. Wynik: 0,8944 - 0,1056 = 0,7888, czyli około 79%.
4. Ile punktów trzeba mieć, by znaleźć się w najlepszych 10%? Szukasz z, dla którego Φ(z) = 0,90. Z tablicy z ≈ 1,2816, więc x = μ + z · σ = 60 + 1,2816 · 8 = 70,25 punktu.
5. Jaki odsetek ma co najmniej 76 punktów? z = (76 - 60) / 8 = 2,00, więc P(Z > 2) = 0,0228, czyli 2,28%.

Schemat jest zawsze ten sam: zamieniasz wartość na z, odczytujesz pole z tablicy i ewentualnie odejmujesz od 1 albo odejmujesz od siebie dwa pola. W zadaniu odwrotnym (punkt 4) idziesz w drugą stronę: od prawdopodobieństwa do z, a potem do wartości x = μ + z · σ.

Dlaczego tyle testów zakłada rozkład normalny

Test t-Studenta, ANOVA, korelacja Pearsona i regresja liniowa należą do testów parametrycznych. Rozkłady ich statystyk (t, F) zostały wyprowadzone przy założeniu, że dane w populacji mają rozkład normalny. Tak postąpił już Student (1908), wyznaczając rozkład t dla średniej z małej próby. Przy normalności średnia i odchylenie standardowe opisują rozkład w całości, więc testy porównujące średnie korzystają z całej informacji zawartej w danych.

Założenie dotyczy jednak konkretnej rzeczy, zależnej od analizy: rozkładu zmiennej w każdej z porównywanych grup, rozkładu różnic przy pomiarach powtarzanych albo rozkładu reszt w regresji. Jak to sprawdzić testem Shapiro-Wilka, wykresem Q-Q i wskaźnikami kształtu, opisuje wpis jak sprawdzić normalność rozkładu. Gdy wahasz się między testem parametrycznym a nieparametrycznym, pomoże porównanie testu t-Studenta i testu U Manna-Whitneya.

Centralne twierdzenie graniczne - intuicyjnie

Centralne twierdzenie graniczne mówi, że średnia z wielu niezależnych obserwacji ma rozkład coraz bliższy normalnemu wraz ze wzrostem liczebności próby, nawet jeśli same obserwacje mają rozkład wyraźnie nienormalny. Intuicja: w średniej skrajne wartości z jednej strony są równoważone przez wartości z drugiej, a przypadkowe odchylenia częściowo się znoszą.

Dobrze to widać na rozkładzie wykładniczym, który ma silny prawy ogon (skośność 2). Skośność rozkładu średniej z n takich obserwacji wynosi 2 / √n, więc szybko maleje:

To dlatego test t i ANOVA przy kilkudziesięciu osobach w grupie są dość odporne na umiarkowane odstępstwa od normalności. Lumley i współautorzy (2002) pokazali, że w dużych zbiorach danych poprawność testu t i regresji liniowej zależy bardziej od wariancji niż od normalności. Twierdzenie ma jednak granice. Dotyczy średnich, a nie pojedynczych wyników, nie usuwa wpływu skrajnych obserwacji, a popularna granica „n = 30” jest tylko orientacyjna: przy bardzo skośnych danych potrzeba więcej. W tabeli przy n = 30 skośność średniej wciąż wynosi 0,37.

Co jeśli dane nie mają rozkładu normalnego

Odrzucenie normalności nie oznacza, że analiza jest stracona. Najpierw oceń, jak duże jest odstępstwo i czy ma znaczenie przy Twojej liczebności. Kształt rozkładu opisują liczbowo skośność i kurtoza, które omawia osobny wpis o skośności i kurtozie. Typowe drogi wyjścia to:

• pozostanie przy teście parametrycznym, gdy próba jest duża, a odstępstwo umiarkowane, z krótkim uzasadnieniem w pracy,
• transformacja zmiennej, np. logarytm przy prawostronnej asymetrii,
• test nieparametryczny, który porównuje rangi zamiast średnich,
• metody odporne lub bootstrap, gdy problemem są pojedyncze skrajne wartości.

Każdą z tych dróg, wraz z argumentami dla promotora, opisuje wpis test normalności odrzuca, i co teraz. Jeśli wolisz, by założenia sprawdził i opisał silnik statystyczny, zakres analiz dla swoich danych sprawdzisz w kreatorze wyceny analizy.

Typowe błędy

• Traktowanie wartości gęstości f(x) jak prawdopodobieństwa.
• Pomylenie tablicy dystrybuanty Φ(z) z tablicą pola od 0 do z.
• Stosowanie reguły 68-95-99,7 do danych wyraźnie skośnych, np. czasu reakcji.
• Przekonanie, że centralne twierdzenie graniczne „czyni dane normalnymi”. Ono dotyczy rozkładu średniej, nie wyników osób.
• Sprawdzanie normalności całej zmiennej zamiast w grupach, różnic albo reszt.

Jak opisać rozkład w pracy

W części opisowej wystarczy jedno lub dwa zdania o kształcie rozkładu i o tym, jaki z tego wynikł wybór metody. Przykład zapisu dla danych przykładowych:

Rozkład wyników testu wiedzy był zbliżony do normalnego (M = 60,12, SD = 7,94; test Shapiro-Wilka nieistotny, symetryczny wykres Q-Q), dlatego do porównania grup zastosowano test t-Studenta.

Nie pisz, że „dane mają rozkład normalny”, bo tego nie da się udowodnić. Bezpieczniej: „rozkład nie odbiegał istotnie od normalnego” albo „był zbliżony do normalnego”.

Najczęstsze pytania

Rozkład normalny - co to w prostych słowach?

To model, w którym większość wyników skupia się wokół średniej, a im dalej od niej, tym wyniki są rzadsze, symetrycznie w obie strony. Na wykresie ma kształt dzwonu. Opisują go dwie liczby: średnia i odchylenie standardowe.

Jaki jest wzór rozkładu normalnego?

Funkcja gęstości ma postać f(x) = [1 / (σ√(2π))] · e do potęgi -(x - μ)² / (2σ²). Do obliczeń prawdopodobieństw nie liczysz jej ręcznie, tylko standaryzujesz wynik wzorem z = (x - μ) / σ i odczytujesz wartość z tablicy lub programu.

Jak czytać tablicę rozkładu normalnego?

Najpierw zamień wynik na z. W tablicy dystrybuanty znajdź wiersz z pierwszą cyfrą po przecinku i kolumnę z drugą, a odczytana liczba to P(Z ≤ z). Dla z = 1,25 jest to 0,8944. Dla ujemnych z skorzystaj z symetrii: Φ(-z) = 1 - Φ(z).

Co oznacza reguła 68-95-99,7?

W rozkładzie normalnym około 68% wartości mieści się w przedziale średnia ± 1 odchylenie standardowe, około 95% w przedziale ± 2 SD (dokładnie 95% w ± 1,96 SD), a około 99,7% w przedziale ± 3 SD. Reguła nie działa dla rozkładów silnie skośnych.

Czy dane w mojej pracy muszą mieć rozkład normalny?

Nie same dane, tylko to, czego dotyczy założenie danego testu: zmienna w grupach, różnice lub reszty. Przy większych grupach umiarkowane odstępstwa zwykle nie szkodzą testom t i ANOVA. Gdy odstępstwo jest duże, a grupy małe, wybierz test nieparametryczny lub transformację.