Skośność i kurtoza - interpretacja, progi i różnice między programami

Skośność i kurtoza to dwie liczby opisujące kształt rozkładu: pierwsza mówi, czy rozkład jest symetryczny, druga, jak „ciężkie” ma ogony. Pojawiają się w tabelach statystyk opisowych, przy ocenie normalności i w pytaniach promotora typu „czy te wartości są w normie”. W tym wpisie znajdziesz definicje, różnicę między kurtozą a kurtozą nadwyżkową, wyjaśnienie, dlaczego SPSS, Excel, Stata i R potrafią dać dla tych samych danych różne wyniki, interpretację znaków, progi z literatury, policzony przykład i gotowy zapis do pracy.

Skośność - co to jest

Skośność (asymetria) mierzy, czy wyniki rozkładają się symetrycznie wokół średniej. Liczy się ją z trzeciej potęgi odchyleń od średniej. Ponieważ trzecia potęga zachowuje znak, odchylenia w prawo i w lewo się znoszą, jeśli rozkład jest symetryczny. Gdy z jednej strony jest długi ogon, jego duże odchylenia dominują i skośność przyjmuje wyraźną wartość dodatnią albo ujemną. Podstawowy wzór (oznaczany g₁) wygląda tak:

g₁ = m₃ / m₂^3/2, gdzie m_k = Σ(x_i - x̄)^k / n

m₂ to średni kwadrat odchyleń (wariancja liczona z n w mianowniku), a m₃ średni sześcian odchyleń. Dzielenie przez m₂^3/2 sprawia, że skośność nie ma jednostek, więc można ją porównywać między zmiennymi.

Skośność - interpretacja znaku

Nazwa zawsze odnosi się do ogona, a nie do „garbu”. Skośność prawostronna oznacza, że garb jest po lewej, a ogon ciągnie się w prawo. To częsta pomyłka w pracach. Druga praktyczna wskazówka: przy wyraźnej skośności średnia „ucieka” w stronę ogona, dlatego lepszą miarą tendencji centralnej bywa mediana, co rozwija wpis o wyborze średniej, mediany lub dominanty.

Do oceny siły asymetrii często stosuje się klasyfikację Bulmera (1979): wartość bezwzględna skośności poniżej 0,5 oznacza rozkład w przybliżeniu symetryczny, od 0,5 do 1 umiarkowaną asymetrię, a powyżej 1 silną asymetrię.

Kurtoza i kurtoza nadwyżkowa

Kurtoza opiera się na czwartej potędze odchyleń. Czwarta potęga bardzo silnie wzmacnia duże odchylenia, więc kurtoza reaguje przede wszystkim na ogony rozkładu, czyli na to, jak często pojawiają się wartości daleko od średniej. Klasyczne opisy mówią o „spiczastości” lub „spłaszczeniu”, ale DeCarlo (1997) pokazuje, że kurtoza łączy cechy wierzchołka i ogonów, a w praktyce najmocniej odpowiada na ciężkie ogony i wartości odstające.

Tu pojawia się pierwsza pułapka. Istnieją dwie konwencje:

• kurtoza „właściwa” b₂ = m₄ / m₂², dla rozkładu normalnego równa 3,
• kurtoza nadwyżkowa (ang. excess kurtosis) g₂ = m₄ / m₂² - 3, dla rozkładu normalnego równa 0.

Większość programów używanych w pracach dyplomowych (SPSS, Excel, pakiety Pythona) podaje kurtozę nadwyżkową. Stata w poleceniu summarize, detail podaje kurtozę właściwą, więc rozkład normalny ma tam kurtozę 3. Zanim porównasz wynik z progiem z literatury, sprawdź, o którą wersję chodzi.

Kurtoza - interpretacja

Przy kurtozie nadwyżkowej interpretacja wygląda następująco:

• kurtoza dodatnia oznacza rozkład leptokurtyczny, o cięższych ogonach niż normalny; skrajne wyniki zdarzają się częściej, niż przewiduje rozkład normalny,
• kurtoza ujemna oznacza rozkład platykurtyczny, o lżejszych ogonach; wyniki są bardziej „rozlane” po skali i rzadko skrajne,
• kurtoza bliska 0 oznacza rozkład mezokurtyczny, pod tym względem podobny do normalnego.

Dla orientacji, wartości teoretyczne dla kilku znanych rozkładów:

Rozkład t z 5 stopniami swobody jest symetryczny i na wykresie wygląda podobnie do normalnego, a ma kurtozę nadwyżkową 6. To dobry przykład, że kurtozy nie da się „zobaczyć” na oko po samym kształcie środka rozkładu. W danych z ankiet dodatnia kurtoza często wynika z kilku skrajnych odpowiedzi, dlatego przy wysokiej kurtozie zajrzyj do wpisu o wartościach odstających i obejrzyj wykres pudełkowy.

Dlaczego programy podają różne wartości

Joanes i Gill (1998) opisali trzy rodziny estymatorów skośności i kurtozy z próby. Różnią się poprawkami na liczebność, więc przy małych próbach dają wyraźnie różne liczby, a przy dużych prawie identyczne.

• g₁ i g₂: wersje „momentowe”, bez poprawki, opisane wyżej.
• G₁ = g₁ · √[n(n - 1)] / (n - 2) oraz G₂ = [(n + 1)g₂ + 6] · (n - 1) / [(n - 2)(n - 3)]: wersje z poprawką na liczebność, stosowane m.in. w SPSS i SAS.
• b₁ = g₁ · [(n - 1) / n]^3/2 oraz b₂ = (g₂ + 3)(1 - 1/n)² - 3: wersje stosowane m.in. w Minitab i domyślnie w pakiecie e1071 w R.

Dla danych z przykładu w następnej sekcji (n = 30) poszczególne programy pokażą:

Ta sama zmienna daje kurtozę od 1,39 do 4,70 tylko z powodu wyboru wzoru. Jeśli promotor liczy „po swojemu” i wychodzi mu inna wartość, to zwykle nie jest błąd, tylko inna konwencja. W pracy wystarczy napisać, w jakim programie liczono wskaźniki. Excel nie ma wbudowanej funkcji kurtozy populacyjnej, więc wersję g₂ trzeba policzyć osobno.

Przykład na danych

Przykładowe dane: deklarowana liczba godzin nauki w tygodniu w grupie 30 studentów: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 14, 15, 17, 19, 22, 28. Średnia wynosi 9,40 godziny, mediana 8, odchylenie standardowe 5,97. Średnia jest wyraźnie większa od mediany, co już sugeruje prawy ogon.

1. Skośność (wzór jak w SPSS) wynosi 1,46, a jej błąd standardowy SE = 0,43. Wartość z = 1,46 / 0,43 ≈ 3,41 (liczona z niezaokrąglonych wartości).
2. Kurtoza nadwyżkowa wynosi 2,25, SE = 0,83, więc z = 2,25 / 0,83 = 2,71.
3. Próba liczy mniej niż 50 osób, więc według Kima (2013) próg dla wartości z wynosi 1,96. Obie wartości go przekraczają.
4. Test Shapiro-Wilka potwierdza ocenę: W = 0,88, p = 0,002.

Wniosek: rozkład jest prawostronnie skośny (według klasyfikacji Bulmera silnie, bo skośność przekracza 1) i leptokurtyczny, z kilkoma osobami deklarującymi wyjątkowo dużo nauki. Logarytm z liczby godzin daje skośność -0,05 i kurtozę -0,10 (obie wartości z bliskie 0), a Shapiro-Wilk W = 0,99, p > 0,99. Transformacja logarytmiczna jest jedną z dróg, druga to test nieparametryczny. Wybór między nimi opisuje wpis test normalności odrzuca, i co teraz.

Błąd standardowy skośności i kurtozy zależy wyłącznie od liczebności, dlatego te same wartości wskaźników mogą być „istotne” w dużej próbie i nieistotne w małej:

Jakie progi skośności i kurtozy są akceptowalne

Nie ma jednej obowiązującej granicy. W literaturze funkcjonuje kilka reguł, a każda odpowiada na nieco inne pytanie:

Najczęstszy błąd to mieszanie tych reguł, np. porównywanie samej skośności z progiem 1,96 przeznaczonym dla wartości z. Wybierz jedną regułę, napisz, z czego pochodzi, i stosuj ją konsekwentnie do wszystkich zmiennych. Dla typowej pracy z próbą kilkudziesięciu do kilkuset osób dobrze sprawdza się podejście Kima uzupełnione o wykres Q-Q. Cały proces oceny rozkładu, z testami Shapiro-Wilka i Kołmogorowa-Smirnowa, opisuje wpis jak sprawdzić normalność rozkładu.

Skośność i kurtoza rozkładu normalnego

W teoretycznym rozkładzie normalnym skośność wynosi dokładnie 0, kurtoza właściwa 3, a kurtoza nadwyżkowa 0. W próbie z rozkładu normalnego wartości nigdy nie są idealnie zerowe, tylko wahają się wokół zera tym bardziej, im mniejsza jest próba. Przy n = 20 skośność rzędu ±0,5 mieści się w granicach przypadku, bo SE wynosi 0,51. Dlatego sam fakt, że skośność „nie jest zerem”, niczego nie przesądza. Więcej o modelu, do którego porównujesz dane, przeczytasz we wpisie o rozkładzie normalnym.

Jak raportować skośność i kurtozę w pracy

Skośność i kurtozę najwygodniej dodać jako dwie kolumny do tabeli statystyk opisowych (obok n, M, SD, mediany, minimum i maksimum). W tekście wystarczy jedno zdanie o zmiennych, które odbiegają od normalności, i informacja o zastosowanym kryterium. Przykład dla danych z tego wpisu:

Rozkład liczby godzin nauki był prawostronnie skośny (skośność = 1,46; SE = 0,43; z = 3,41) i leptokurtyczny (kurtoza = 2,25; SE = 0,83; z = 2,71). Obie wartości z przekraczały próg 1,96 zalecany dla prób poniżej 50 osób (Kim, 2013), dlatego w dalszej analizie zastosowano test nieparametryczny.

W polskim tekście przy przecinku dziesiętnym rozdzielaj wartości w nawiasie średnikami, jak wyżej. Podaj też, że kurtoza jest kurtozą nadwyżkową (lub że wskaźniki obliczono w SPSS), żeby czytelnik wiedział, do czego porównywać wartości. Jak ułożyć całą część opisową, pokazuje wpis o statystyce opisowej w pracy dyplomowej. Raport z wyliczenia automatycznego zawiera skośność, kurtozę i ocenę normalności dla każdej analizowanej zmiennej.

Typowe błędy

• Nazwanie rozkładu z długim ogonem po prawej „lewostronnie skośnym”, bo garb jest po lewej.
• Porównywanie kurtozy nadwyżkowej z SPSS z progiem 3 albo kurtozy ze Staty z progiem 0.
• Stosowanie progu 1,96 do surowej skośności zamiast do wartości z.
• Liczenie wartości z przy kilkuset obserwacjach, gdy niemal każde odstępstwo wychodzi „istotne”.
• Ocena kształtu rozkładu wyłącznie liczbami, bez histogramu i wykresu Q-Q.

Najczęstsze pytania

Jak interpretować skośność?

Skośność bliska 0 oznacza rozkład symetryczny. Wartość dodatnia oznacza skośność prawostronną: większość wyników jest niska, a ogon ciągnie się w stronę wysokich wartości. Wartość ujemna oznacza sytuację odwrotną. Wartość bezwzględna powyżej 1 świadczy o silnej asymetrii.

Co oznacza kurtoza dodatnia?

Kurtoza dodatnia (w wersji nadwyżkowej, jak w SPSS i Excelu) oznacza rozkład leptokurtyczny, o cięższych ogonach niż normalny. Skrajne wyniki pojawiają się częściej, niż przewiduje rozkład normalny. Często jest to sygnał, że w danych są wartości odstające.

Ile wynosi skośność i kurtoza rozkładu normalnego?

Skośność wynosi 0. Kurtoza właściwa wynosi 3, a kurtoza nadwyżkowa, którą podaje większość programów, wynosi 0. W próbie z rozkładu normalnego obie wartości wahają się wokół zera, tym silniej, im mniejsza próba.

Jakie wartości skośności i kurtozy są dopuszczalne?

Popularna reguła mówi o przedziale od -2 do 2, ale jest orientacyjna. Bardziej uzasadnione jest podejście Kima (2013): wskaźnik dzielisz przez jego błąd standardowy i przy próbie poniżej 50 osób porównujesz z 1,96, a przy 50-300 osobach z 3,29. Przy większych próbach patrzy się na skośność powyżej 2 i kurtozę właściwą powyżej 7.

Dlaczego SPSS i Excel dają inną kurtozę niż Stata albo R?

Programy stosują różne wzory. SPSS i Excel liczą wersję z poprawką na liczebność, Stata podaje kurtozę właściwą (normalny rozkład ma 3), a pakiet e1071 w R domyślnie inną poprawkę. Przy dużych próbach różnice prawie znikają, przy małych bywają duże.