Standaryzacja i wynik z - jak liczyć z-score, steny i wyniki T oraz porównywać skale

Wynik z (z-score) mówi, o ile odchyleń standardowych dana wartość leży powyżej albo poniżej średniej: z = (x - M) / SD. Standaryzacja to przeliczenie wszystkich wyników zmiennej na wyniki z, po którym zmienna ma średnią 0 i odchylenie standardowe 1. Dzięki temu możesz porównać wynik z testu punktowanego od 0 do 50 z wynikiem z testu punktowanego od 0 do 100 albo zsumować skale o różnych zakresach. Na wynikach z opierają się też wyniki standaryzowane w testach psychologicznych: steny, staniny i skala T. W tym wpisie znajdziesz wzór, przykłady liczbowe na przykładowych danych, tabele przeliczeń, ścieżki w SPSS i Excelu oraz najczęstsze błędy.

Wynik z: wzór i interpretacja

z = (x - M) / SD

x to wynik surowy osoby, M średnia, a SD odchylenie standardowe w grupie odniesienia (w próbie albo w normach testu). Interpretacja jest prosta:

• z = 0 oznacza wynik równy średniej,
• z dodatnie oznacza wynik powyżej średniej, ujemne poniżej,
• z = 1,5 oznacza wynik o półtora odchylenia standardowego wyższy od średniej,
• w rozkładzie zbliżonym do normalnego około 68% wyników mieści się między z = -1 a z = 1, a około 95% między -1,96 a 1,96.

Ostatnia reguła działa tylko wtedy, gdy rozkład jest zbliżony do normalnego. Wynik z można policzyć dla każdej zmiennej ilościowej, ale jego przeliczenie na odsetek osób z niższym wynikiem (centyl) zakłada normalność. Czym jest samo odchylenie standardowe i czym różni się od błędu standardowego, wyjaśniamy w tekście odchylenie standardowe a błąd standardowy.

Porównywanie wyników z różnych skal

Przykładowe dane: studentka uzyskała 34 na 50 punktów z kolokwium ze statystyki (średnia w grupie 28, SD = 6) i 72 na 100 punktów z egzaminu z metodologii (średnia 65, SD = 10). Z którego przedmiotu poszło jej lepiej na tle grupy?

Procenty sugerują metodologię (72% wobec 68% punktów). Wyniki z mówią co innego:

z_statystyka = (34 - 28) / 6 = 1,00
z_metodologia = (72 - 65) / 10 = 0,70

Na tle swojej grupy studentka wypadła lepiej ze statystyki: jej wynik leży o jedno odchylenie standardowe powyżej średniej, a z metodologii o 0,7 odchylenia. Przy rozkładach zbliżonych do normalnego odpowiada to mniej więcej 84. i 76. centylowi, czyli wynikom lepszym niż u około 84% i 76% grupy.

Takie porównanie ma sens, gdy oba wyniki odnoszą się do tej samej lub porównywalnej grupy, a rozkłady mają podobny kształt. Wynik z liczony względem grupy bardzo słabej i względem grupy bardzo dobrej nie jest porównywalny, choć liczbowo wygląda tak samo.

Standaryzacja zmiennych krok po kroku

Przykładowe dane: 8 osób uzyskało w skali satysfakcji wyniki 12, 15, 18, 18, 20, 22, 25 i 38 punktów.

1. Średnia: M = 168 / 8 = 21,00.
2. Odchylenie standardowe z próby (z dzieleniem przez n - 1): SD = 7,95.
3. Dla każdej osoby z = (x - 21) / 7,95.

Nowa zmienna ma średnią 0 i odchylenie standardowe 1. Zwróć uwagę na dwie rzeczy. Po pierwsze, rozkład nie zmienił kształtu: skośność wyników surowych i wyników z jest identyczna (1,51). Standaryzacja przesuwa i przeskalowuje dane, ale ich nie „normalizuje”; skośny rozkład pozostaje skośny. Jak ocenić kształt rozkładu, opisujemy we wpisie o skośności i kurtozie. Po drugie, wynik zależy od tego, jakie SD przyjmiesz. SPSS i Excel (funkcja z odchyleniem z próby) dzielą przez n - 1. Gdyby dzielić przez n, ostatnia osoba miałaby z = 2,29 zamiast 2,14. Przy dużych próbach różnica znika, przy kilku osobach jest wyraźna.

Do czego standaryzacja przydaje się w pracy

• Porównanie wyników z narzędzi o różnych zakresach punktowych, jak w przykładzie ze studentką.
• Budowa wskaźnika z kilku skal o różnych zakresach. Jeśli jedna skala ma zakres 0-10, a druga 0-100, zwykła suma byłaby zdominowana przez drugą. Sumowanie wyników z daje obu skalom równą wagę. Inne sposoby liczenia wskaźników opisujemy w tekście skale w kwestionariuszu: jak liczyć wskaźnik.
• Wykrywanie wartości odstających: wyniki z powyżej 3 (albo 3,29) co do modułu warto sprawdzić. W małej próbie z przykładu nawet wyraźnie odstająca osoba ma z = 2,14, bo sama zawyża średnią i SD, więc reguła „|z| > 3” działa dopiero przy kilkudziesięciu obserwacjach. Szerzej piszemy o tym w tekście o wartościach odstających.
• Współczynniki standaryzowane w regresji (beta): po standaryzacji wszystkich zmiennych współczynniki regresji mówią, o ile odchyleń standardowych zmienia się zmienna zależna przy wzroście predyktora o jedno odchylenie, co pozwala porównać predyktory mierzone w różnych jednostkach.
• Analiza moderacji: zmienne tworzące interakcję często się centruje (odejmuje średnią) lub standaryzuje, żeby łatwiej interpretować efekty główne.

Czego standaryzacja nie zmienia: korelacji (r między wynikami z jest takie samo jak między wynikami surowymi), wyników testu t, ANOVA ani istotności w regresji. Standaryzowanie zmiennych przed testem t „żeby było poprawniej” niczego nie daje.

Wyniki standaryzowane w testach psychologicznych

Wyniki z są niewygodne w użyciu: mają ujemne wartości i ułamki. Dlatego w psychometrii przelicza się je liniowo na skale o wygodniejszej średniej i odchyleniu standardowym. Wszystkie poniższe skale są po prostu wynikami z w innym „opakowaniu”.

Przeliczenie wybranych wartości (centyle przy założeniu rozkładu normalnego):

Skala stenowa: przedziały i interpretacja

Steny dzielą oś wyników na 10 przedziałów o szerokości pół odchylenia standardowego. Średnia wypada dokładnie na granicy stenów 5 i 6. W polskich podręcznikach testów przyjmuje się zwykle, że steny 1-4 to wyniki niskie, 5-6 przeciętne, a 7-10 wysokie. Przy rozkładzie normalnym te trzy przedziały obejmują odpowiednio około 31%, 38% i 31% osób.

Przykład przeliczenia

Przykładowe dane: osoba uzyskała 25 punktów w skali, dla której normy podają średnią 18,4 i SD = 4,6. Wtedy z = (25 - 18,4) / 4,6 = 1,43. Stąd T = 50 + 10 · 1,43 = 64, sten = 5,5 + 2 · 1,43 = 8,4, czyli 8, stanin = 5 + 2 · 1,43 = 7,9, czyli 8, a centyl przy rozkładzie normalnym wynosi około 92. To wynik wysoki: lepszy niż u około 92% grupy normalizacyjnej.

W praktyce przy testach z polskimi normami nie licz stenów wzorem, tylko odczytaj je z tabel w podręczniku testu. Normy są zwykle normalizowane, czyli zbudowane na centylach rzeczywistego rozkładu wyników, i podane osobno dla grup wieku lub płci. Wzór daje ten sam wynik tylko wtedy, gdy rozkład w grupie normalizacyjnej jest normalny. Hornowska (2018) szczegółowo opisuje różnicę między normami liniowymi a normalizowanymi.

Wynik z a centyl: równe odstępy, nierówne centyle

Wyniki z i skala T zachowują równe odstępy: różnica między z = 0 a z = 0,5 jest „taka sama” jak między z = 2 a z = 2,5. Centyle tego nie robią. Przy rozkładzie normalnym:

Przesunięcie o pół odchylenia blisko średniej zmienia centyl o 19 punktów, a na krańcu rozkładu o niecałe 2. Dlatego centyli nie uśrednia się i nie liczy na nich testów; do obliczeń używaj wyników z, T lub stenów, a centyle podawaj jako opis dla czytelnika.

Wynik z w testach statystycznych

Ta sama logika stoi za statystyką Z w wielu testach. Gdy SPSS podaje w teście Manna-Whitneya Z = -2,51, oznacza to, że uzyskana statystyka U leży 2,51 odchylenia standardowego poniżej wartości oczekiwanej przy prawdziwej hipotezie zerowej. Wartość |Z| większa niż 1,96 daje p < 0,05 w teście dwustronnym. Przykład z pełnymi obliczeniami znajdziesz we wpisie o teście U Manna-Whitneya.

Jeśli Twoim celem jest zmiana kształtu rozkładu, a nie jego skali, standaryzacja nie pomoże. Do tego służą transformacje nieliniowe, np. logarytm albo pierwiastek dla rozkładów prawostronnie skośnych. Po takiej transformacji interpretacja wyników zmienia się jednak bardziej niż po standaryzacji, więc stosuj je tylko z dobrego powodu.

Standaryzacja w SPSS, Excelu i jamovi

• SPSS: Analyze > Descriptive Statistics > Descriptives, przenieś zmienne i zaznacz Save standardized values as variables. Program doda nowe kolumny z przedrostkiem Z (np. Zsatysfakcja), liczone z SD próby.
• Excel w polskiej wersji: =STANDARYZUJ(A2; ŚREDNIA(A$2:A$9); ODCH.STANDARDOWE.PRÓBKI(A$2:A$9)), następnie skopiuj formułę w dół. Steny z wyniku z: =ZAOKR(5,5+2*B2; 0), pamiętając o obcięciu do zakresu 1-10.
• jamovi: w arkuszu dodaj nową zmienną obliczaną (Computed variable) z funkcją Z(zmienna).

Jak opisać standaryzację w pracy

W metodologii napisz, co i względem czego standaryzowałeś, a w wynikach podawaj te same jednostki, w których interpretujesz. Przykłady:

Wyniki surowe w skalach kwestionariusza przeliczono na steny według polskich norm dla osób w wieku 20-29 lat. Średni wynik grupy w skali Neurotyczności wyniósł M = 6,4 stena (SD = 2,1), co mieści się w przedziale wyników przeciętnych.

Ponieważ skale miały różne zakresy punktowe, przed utworzeniem wskaźnika ogólnego wyniki każdej skali przekształcono na wyniki standaryzowane z względem średniej i odchylenia standardowego w badanej próbie (N = 154).

Liczby w tych zdaniach są ilustracją sposobu zapisu. Jeśli badanie dotyczy testów psychologicznych z normami, zajrzyj też na stronę o statystyce do pracy z psychologii.

Typowe błędy

• Przekonanie, że standaryzacja „normalizuje” rozkład. Zmienia średnią i SD, a kształt rozkładu zostaje.
• Liczenie stenów wzorem zamiast odczytania ich z tabel norm testu.
• Porównywanie wyników z liczonych względem różnych grup, np. normy dla dorosłych zastosowane do nastolatków.
• Mylenie centyla z procentem poprawnych odpowiedzi. Centyl 84 oznacza wynik lepszy niż u 84% grupy, a nie 84% punktów.
• Przeliczanie z na centyle przy wyraźnie skośnym rozkładzie.
• Standaryzowanie zmiennych przed testem t lub korelacją w przekonaniu, że zmieni to wynik.
• Brak informacji w metodologii, czy standaryzowano względem próby, czy względem norm.

Statystyki opisowe i analizy na wynikach skal zamówisz w kreatorze wyceny. Przeliczenie wyników na steny według norm konkretnego testu to zadanie nietypowe: przygotuje je statystyk w ramach indywidualnej wyceny, a tabele norm trzeba wziąć z podręcznika testu.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć wynik z?

Od wyniku surowego odejmij średnią i podziel przez odchylenie standardowe: z = (x - M) / SD. Na przykład 34 punkty przy średniej 28 i SD = 6 dają z = 1,00, czyli wynik o jedno odchylenie standardowe powyżej średniej.

Co oznacza ujemny wynik z?

Że wynik jest niższy od średniej. Wartość z = -0,5 oznacza wynik o pół odchylenia standardowego poniżej średniej, a przy rozkładzie normalnym około 31. centyl.

Jak przeliczyć wynik z na steny?

Sten = 5,5 + 2z, zaokrąglone do liczby całkowitej i obcięte do zakresu 1-10. Przy testach z polskimi normami steny odczytuj jednak z tabel w podręczniku testu, bo normy są zwykle normalizowane.

Jaka jest różnica między skalą T a stenami?

Obie są przekształceniem wyniku z. Skala T ma średnią 50 i SD = 10, więc jest dokładniejsza, a steny mają średnią 5,5 i SD = 2 i tylko 10 kategorii. Wynik T = 60 odpowiada z = 1, czyli granicy stenów 7 i 8.

Czy standaryzacja zmienia rozkład na normalny?

Nie. Standaryzacja zmienia tylko średnią (na 0) i odchylenie standardowe (na 1). Skośność i kurtoza zostają takie same, więc skośny rozkład pozostaje skośny.