Porównanie dwóch proporcji - test z dla dwóch odsetków krok po kroku

Porównanie dwóch proporcji odpowiada na pytanie, czy odsetek osób z daną cechą różni się w dwóch niezależnych grupach, na przykład czy wysoki stres przed sesją deklaruje większy odsetek studentek niż studentów. Standardowym narzędziem jest test z dla dwóch proporcji, który daje dokładnie ten sam wynik co test chi-kwadrat dla tabeli 2×2.

W ankietach do prac dyplomowych to jedno z najczęstszych porównań, bo wiele pytań ma odpowiedź „tak” albo „nie”. W tym wpisie zobaczysz wzór testu, przykład policzony krok po kroku, związek z chi-kwadrat, przedział ufności dla różnicy odsetków, miary wielkości efektu i gotowe zdanie w APA 7.

Kiedy porównujesz dwie proporcje

Proporcja to odsetek obserwacji spełniających warunek: liczba „sukcesów” podzielona przez liczebność grupy. Test dla dwóch proporcji stosujesz, gdy:

• zmienna zależna ma dwie kategorie (tak/nie, zdał/nie zdał, korzysta/nie korzysta),
• porównujesz dwie niezależne grupy, a każda osoba należy tylko do jednej z nich,
• chcesz wiedzieć, czy różnica odsetków w próbie wskazuje na różnicę w populacji.

Trzy sytuacje wymagają innego testu. Gdy porównujesz odsetki u tych samych osób, na przykład przed szkoleniem i po nim, potrzebujesz testu McNemara. Gdy porównujesz jeden odsetek z wartością z góry (czy odsetek „tak” różni się od 50%), to zadanie dla testu jednej proporcji, czyli szczególnego przypadku testu chi-kwadrat zgodności. Gdy grup jest więcej niż dwie, zaczynasz od testu chi-kwadrat dla całej tabeli.

Hipotezy

• H₀: p₁ = p₂, czyli odsetek w obu populacjach jest taki sam.
• H₁ dwustronna: p₁ ≠ p₂.
• H₁ jednostronna: p₁ > p₂ (albo p₁ < p₂), jeśli kierunek wynika z teorii i zapisałeś go przed zebraniem danych.

Założenia testu z dla proporcji

• Dwie niezależne próby i niezależne obserwacje wewnątrz grup.
• Zmienna dwukategorialna, a każda osoba ma jedną odpowiedź.
• Wystarczająco duże liczności. Test korzysta z przybliżenia rozkładem normalnym, które działa, gdy w każdej grupie zarówno liczba „sukcesów”, jak i „porażek” wynosi co najmniej 5, a ostrożniej co najmniej 10. Równoważny warunek dla tabeli 2×2: wszystkie liczności oczekiwane są nie mniejsze niż 5.

Gdy liczności są małe, na przykład 3 osoby z 15 w jednej grupie, użyj testu dokładnego Fishera, który nie opiera się na przybliżeniu.

Wzór testu z dla dwóch proporcji

Przy prawdziwej H₀ obie grupy mają wspólną proporcję, więc błąd standardowy liczy się z proporcji łącznej obu prób:

p̂₁ = x₁ / n₁, p̂₂ = x₂ / n₂
p̂ = (x₁ + x₂) / (n₁ + n₂)
SE₀ = √[p̂(1 - p̂)(1/n₁ + 1/n₂)]
z = (p̂₁ - p̂₂) / SE₀

x to liczba osób z cechą, n liczebność grupy. Wartość z porównujesz z rozkładem normalnym standardowym: przy teście dwustronnym i α = 0,05 granicą jest 1,96 co do modułu.

Porównanie dwóch proporcji: przykład

Przykładowe dane: w ankiecie wśród studentów pierwszego roku wysoki poziom stresu przed sesją zadeklarowało 54 ze 120 studentek oraz 33 ze 110 studentów. Hipoteza mówi, że odsetek ten różni się w zależności od płci.

1. Proporcje w grupach: p̂₁ = 54 / 120 = 0,45 i p̂₂ = 33 / 110 = 0,30. Różnica wynosi 0,15, czyli 15 punktów procentowych.
2. Założenia: najmniejsza liczność w tabeli to 33, więc przybliżenie normalne jest uprawnione.
3. Proporcja łączna: p̂ = 87 / 230 = 0,378.
4. Błąd standardowy: SE₀ = √[0,378 · 0,622 · (1/120 + 1/110)] = 0,064.
5. Statystyka: z = 0,15 / 0,064 = 2,34.
6. Decyzja: 2,34 > 1,96, więc odrzucasz H₀. Dokładne p dwustronne wynosi 0,019.

Wniosek: odsetek osób deklarujących wysoki stres przed sesją był istotnie wyższy wśród studentek (45%) niż wśród studentów (30%). Gdyby przed badaniem sformułowano kierunkową hipotezę, że studentki częściej deklarują wysoki stres, p jednostronne wyniosłoby 0,010. Kierunku nie wybiera się jednak po obejrzeniu danych.

Test proporcji a chi-kwadrat 2×2

Te same dane możesz zapisać jako tabelę krzyżową 2×2 i policzyć test chi-kwadrat niezależności Pearsona. Wynik: χ²(1, N = 230) = 5,49, p = 0,019. To nie przypadek, że p jest identyczne. Dla tabeli 2×2 statystyka chi-kwadrat jest kwadratem statystyki z: 2,34² = 5,49. Oba testy są tym samym testem zapisanym na dwa sposoby, a jedyna przewaga z polega na tym, że pozwala wprost wykonać test jednostronny.

Poprawka Yatesa na ciągłość, którą SPSS pokazuje w wierszu Continuity Correction, jest zachowawcza i przy takich licznościach nie jest potrzebna. Jeśli promotor pyta, którą wartość podać, przy dużych licznościach raportuj test Pearsona (albo z), a przy małych test Fishera. Jak budować i opisywać tabele 2×2, pokazuje wpis o tabeli krzyżowej, a założenia samego testu chi-kwadrat opisuje tekst test chi-kwadrat: kiedy i jakie założenia.

Przedział ufności dla różnicy proporcji

Sam test mówi, czy różnica istnieje. Przedział ufności mówi, jak duża może być w populacji. Najprostszy wzór (Walda) liczy błąd standardowy bez łączenia proporcji, bo nie zakłada H₀:

SE = √[p̂₁(1 - p̂₁)/n₁ + p̂₂(1 - p̂₂)/n₂]
95% CI = (p̂₁ - p̂₂) ± 1,96 · SE

W przykładzie SE = 0,063, więc 95% CI wynosi od 2,6 do 27,4 punktu procentowego. Przedział nie obejmuje zera, co zgadza się z wynikiem testu, ale jest szeroki: różnica w populacji może być niewielka albo bardzo wyraźna. Przy małych próbach i odsetkach bliskich 0% lub 100% wzór Walda bywa niedokładny. Newcombe (1998) porównał jedenaście metod i zalecił przedział oparty na metodzie Wilsona; dla przykładowych danych daje on od 2,5 do 26,8 punktu procentowego. Jak opisywać przedziały w pracy, wyjaśnia wpis przedział ufności: jak go interpretować i raportować.

Wielkość efektu: różnica, ryzyko względne, iloraz szans, h Cohena

Różnicę dwóch odsetków można opisać na kilka sposobów. Każdy odpowiada na trochę inne pytanie.

Różnica 15 punktów procentowych jest najłatwiejsza do zrozumienia dla czytelnika. Ryzyko względne 1,50 znaczy, że wysoki stres deklarował odsetek studentek o połowę wyższy niż studentów. Iloraz szans 1,91 jest naturalną miarą w regresji logistycznej, ale łatwo go pomylić z ryzykiem względnym, więc w tekście dla laika lepiej go objaśnić. h Cohena ma umowne progi 0,2 (mały), 0,5 (średni) i 0,8 (duży), więc 0,31 to efekt mały do średniego. Wybierz jedną główną miarę i trzymaj się jej w całym rozdziale wyników.

Uważaj na różnicę między punktami procentowymi a procentami. Wzrost z 30% do 45% to wzrost o 15 punktów procentowych, ale o 50% w ujęciu względnym. Zdanie „studentki deklarowały stres o 15% częściej” jest niejasne i promotor słusznie je zakwestionuje.

Jak zapisać wynik w APA 7

Podaj liczności i odsetki w obu grupach, statystykę testu z p, różnicę z przedziałem ufności i, jeśli pasuje do dziedziny, iloraz szans lub ryzyko względne. Przykład:

Wysoki poziom stresu przed sesją zadeklarowało 45% studentek (54 ze 120) i 30% studentów (33 ze 110). Różnica była istotna statystycznie, z = 2,34, p = 0,019, i wynosiła 15 punktów procentowych, 95% CI [2,5; 26,8], h = 0,31.

Jeśli liczyłeś test chi-kwadrat, zapis brzmi: χ²(1, N = 230) = 5,49, p = 0,019, φ = 0,15. W granicach przedziału użyj średnika, żeby przecinek dziesiętny nie mieszał się z separatorem.

Porównanie dwóch proporcji w SPSS i jamovi

• SPSS od wersji 27: Analyze > Compare Means > Independent-Samples Proportions. Wskazujesz zmienną testowaną, wartość oznaczającą „sukces” i zmienną grupującą; program podaje różnicę proporcji, przedział ufności i test.
• SPSS w każdej wersji: Analyze > Descriptive Statistics > Crosstabs, w Statistics zaznacz Chi-square oraz Risk (iloraz szans i ryzyko względne), w Cells procenty w wierszach. Wartość z to pierwiastek z Pearson Chi-Square.
• jamovi: Analyses > Frequencies > Independent Samples χ² test of association. W sekcji Statistics zaznacz Comparative Measures, a dostaniesz różnicę proporcji, iloraz szans i ryzyko względne z przedziałami ufności.

Ile osób potrzeba do porównania dwóch proporcji

Różnice odsetków wymagają większych prób, niż studenci zwykle zakładają. Liczebność potrzebną do wykrycia różnicy z mocą 80% przy α = 0,05 (test dwustronny, równe grupy) wylicza się z h Cohena. Dla kilku przykładowych par odsetków:

W przykładzie ze stresem przed sesją grupy liczyły 120 i 110 osób, więc moc wykrycia różnicy 45% wobec 30% wynosiła około 65%. Wynik wyszedł istotny, ale przy takich licznościach podobne badanie w co trzeciej próbie mogłoby różnicy nie wykazać. Dlatego nieistotny wynik przy kilkudziesięciu osobach w grupie nie jest dowodem, że odsetki są równe. Napisz wtedy raczej, że badanie nie pozwoliło wykazać różnicy, i podaj przedział ufności, który pokaże, jak dużej różnicy nie da się wykluczyć.

Gdy grup jest więcej niż dwie

Przy trzech i więcej grupach (na przykład odsetek palących na trzech kierunkach) nie zaczynaj od serii testów z dla każdej pary. Najpierw policz test chi-kwadrat dla całej tabeli. Jeśli wyjdzie istotny, porównaj pary proporcji testem z i skoryguj p ze względu na liczbę porównań. Przy trzech grupach porównań jest trzy, więc bez korekty ryzyko co najmniej jednego fałszywego alarmu rośnie do około 14%. Jak to zrobić, pokazuje wpis o poprawce Bonferroniego i metodzie Holma.

Typowe błędy

• Porównywanie samych procentów bez liczności. 50% przy 4 osobach i 50% przy 400 osobach to zupełnie inna precyzja.
• Test t na zmiennej 0/1 zamiast testu dla proporcji. Przy dużych próbach wynik bywa podobny, ale recenzent zapyta o wybór metody.
• Wniosek z nakładania się przedziałów ufności dla każdej proporcji osobno. Przedziały mogą się częściowo nakładać, a różnica i tak być istotna; liczy się przedział dla różnicy.
• Test dla prób niezależnych zastosowany do pomiaru przed i po u tych samych osób.
• Mylenie punktów procentowych z procentami.
• Poprawka Yatesa przy dużych licznościach i test Pearsona przy bardzo małych, zamiast odwrotnie.

Porównania odsetków z testem chi-kwadrat, ilorazem szans i tabelą w APA wchodzą w zakres analiz liczonych automatycznie. Jeśli chcesz sprawdzić, które porównania pasują do twoich hipotez, opisz badanie w kreatorze wyceny, a po opłaceniu wskażesz w panelu kolumny do każdej analizy.

Najczęstsze pytania

Jak porównać dwa odsetki w pracy magisterskiej?

Jeśli odsetki pochodzą z dwóch niezależnych grup, użyj testu z dla dwóch proporcji albo równoważnego testu chi-kwadrat dla tabeli 2×2. Podaj liczności, odsetki, wynik testu, różnicę w punktach procentowych z przedziałem ufności i miarę efektu.

Czy test z dla proporcji to to samo co chi-kwadrat?

Dla dwóch grup i zmiennej dwukategorialnej tak. Statystyka chi-kwadrat Pearsona dla tabeli 2×2 jest kwadratem statystyki z, a p jest identyczne. Test z pozwala dodatkowo wprost przeprowadzić test jednostronny.

Kiedy zamiast testu z użyć testu Fishera?

Gdy liczności są małe, czyli gdy w którejś grupie liczba osób z cechą lub bez niej jest mniejsza niż 5 albo liczność oczekiwana w tabeli 2×2 spada poniżej 5. Test Fishera liczy dokładne p bez przybliżenia rozkładem normalnym.

Jak policzyć przedział ufności dla różnicy dwóch proporcji?

Najprościej metodą Walda: różnica proporcji plus minus 1,96 razy błąd standardowy liczony z obu proporcji osobno. Przy małych próbach lub odsetkach bliskich 0% i 100% lepszy jest przedział Newcombe'a oparty na metodzie Wilsona.

Jak porównać proporcje u tych samych osób przed i po?

Testem McNemara, który bierze pod uwagę tylko osoby, które zmieniły odpowiedź. Test z dla prób niezależnych nie nadaje się do danych sparowanych.