Test chi-kwadrat zgodności - kiedy go użyć, przykład i interpretacja

Test chi-kwadrat zgodności sprawdza, czy rozkład jednej zmiennej kategorialnej w próbie zgadza się z rozkładem, który zakładasz z góry: równym, znanym z populacji albo wynikającym z teorii. Porównuje liczności obserwowane w kategoriach z licznościami oczekiwanymi i mówi, czy różnice są większe, niż mógłby dać przypadek.

W pracach dyplomowych test pojawia się częściej, niż się wydaje. Pozwala sprawdzić, czy struktura próby odpowiada strukturze populacji, czy respondenci wybierali odpowiedzi równomiernie albo czy wyniki pasują do proporcji przewidzianych przez model. W tym wpisie przejdziesz przez hipotezy, założenia, wzór, dwa przykłady policzone krok po kroku, interpretację z wielkością efektu i zapis w APA 7. Na końcu znajdziesz porównanie z testem niezależności, z którym test zgodności jest najczęściej mylony.

Czym jest test chi-kwadrat zgodności

Test chi-kwadrat zgodności (ang. chi-square goodness-of-fit test), nazywany też testem dopasowania, opisał Karl Pearson (1900). Działa na jednej zmiennej nominalnej lub porządkowej z kilkoma kategoriami. Ty określasz, jaki odsetek obserwacji powinien trafić do każdej kategorii, a test ocenia, czy dane od tego odbiegają.

Najważniejsze jest tu słowo „zakładany”. Rozkład oczekiwany nie pochodzi z twoich danych, tylko z zewnątrz: z danych urzędowych, z założenia o równych szansach, z wcześniejszych badań albo z teorii. Bez takiego punktu odniesienia testu zgodności nie da się przeprowadzić.

Kiedy stosować test zgodności

• Sprawdzenie struktury próby: czy odsetki kobiet i mężczyzn, mieszkańców wsi i miast albo grup wiekowych odpowiadają danym o populacji. To częsty element opisu próby, a o tym, co z takiego porównania wynika, piszemy we wpisie o próbie reprezentatywnej.
• Równomierność wyborów: czy respondenci wybierali jedną z kilku form zajęć, marek lub terminów z jednakową częstością.
• Zgodność z teorią: czy proporcje fenotypów odpowiadają stosunkowi 3:1, czy liczba zdarzeń w dniach tygodnia jest równa.
• Porównanie z wcześniejszym badaniem: czy rozkład odpowiedzi w twojej próbie różni się od rozkładu opublikowanego kilka lat temu.

Testu nie używasz do porównania dwóch grup zebranych w twoim badaniu. Jeśli pytasz, czy rozkład odpowiedzi różni się u kobiet i mężczyzn, potrzebujesz testu niezależności na tabeli krzyżowej. Różnicę wyjaśnia sekcja niżej.

Hipotezy w teście zgodności

• H₀: rozkład zmiennej w populacji jest zgodny z rozkładem zakładanym, czyli prawdopodobieństwa kategorii wynoszą p₁, p₂, ..., p_k.
• H₁: rozkład zmiennej różni się od zakładanego w co najmniej jednej kategorii.

Hipoteza alternatywna jest zawsze ogólna. Test nie mówi, która kategoria odbiega od oczekiwań. Do tego służą reszty standaryzowane, opisane w części o interpretacji. Zwróć uwagę na logikę: przy sprawdzaniu reprezentatywności próby „dobrym” wynikiem jest brak podstaw do odrzucenia H₀, a nie wynik istotny. Brak istotności nie dowodzi jednak zgodności, zwłaszcza w małej próbie.

Założenia testu chi-kwadrat zgodności

• Obserwacje są niezależne, a każda osoba trafia do dokładnie jednej kategorii. Pytania wielokrotnego wyboru nie spełniają tego warunku.
• Kategorie są rozłączne i wyczerpują wszystkie możliwości, więc suma liczności oczekiwanych równa się N.
• Test liczy się na licznościach, nie na procentach ani średnich.
• Liczności oczekiwane nie są za małe. Według reguły Cochrana (1954) żadna nie powinna być mniejsza od 1, a nie więcej niż 20% kategorii może mieć liczność oczekiwaną poniżej 5.
• Proporcje oczekiwane ustalasz przed obejrzeniem danych, a nie na ich podstawie.

Gdy liczności oczekiwane są za małe, możesz połączyć sąsiednie kategorie (na przykład „60-69 lat” i „70 lat i więcej”) albo użyć dokładnego testu wielomianowego, który oferują programy statystyczne. Reguła Cochrana dotyczy liczności oczekiwanych, nie obserwowanych: kategoria z zerem obserwacji jest w porządku, jeśli oczekiwano w niej na przykład 8 osób.

Wzór i stopnie swobody

χ² = Σ (O_i - E_i)² / E_i
E_i = N · p_i
df = k - 1

O_i to liczność obserwowana w kategorii i, E_i liczność oczekiwana, p_i zakładane prawdopodobieństwo kategorii, k liczba kategorii. Każda kategoria dokłada do sumy kwadrat różnicy podzielony przez liczność oczekiwaną, więc ta sama różnica 10 osób waży więcej w małej kategorii niż w dużej. Stopni swobody jest k - 1, bo przy znanym N ostatnia liczność wynika z pozostałych. Szerzej o tym, skąd się biorą, piszemy w tekście o stopniach swobody.

Gdy parametry rozkładu oczekiwanego szacujesz z tych samych danych (na przykład średnią i odchylenie przy sprawdzaniu dopasowania do rozkładu normalnego), od stopni swobody odejmujesz jeszcze liczbę oszacowanych parametrów: df = k - 1 - m.

Test chi-kwadrat zgodności: przykład

Przykładowe dane: w badaniu ankietowym wzięło udział 200 osób z jednego województwa. Studentka chce sprawdzić, czy struktura miejsca zamieszkania w próbie odpowiada strukturze dorosłych mieszkańców regionu, którą na potrzeby przykładu przyjmujemy jako 40% wieś, 30% miasta do 100 tys. mieszkańców i 30% miasta większe.

1. Hipotezy. H₀: rozkład miejsca zamieszkania w populacji, z której pochodzi próba, wynosi 40% / 30% / 30%. H₁: rozkład jest inny.
2. Liczności oczekiwane. E = 200 · 0,40 = 80 dla wsi i 200 · 0,30 = 60 dla każdej grupy miast. Wszystkie są większe od 5, więc założenie o licznościach jest spełnione.
3. Wkład kategorii. Dla wsi (62 - 80)² / 80 = 4,05, dla mniejszych miast (58 - 60)² / 60 = 0,07, dla dużych miast (80 - 60)² / 60 = 6,67.
4. Statystyka. χ² = 4,05 + 0,07 + 6,67 = 10,78 przy df = 3 - 1 = 2.
5. Decyzja. Wartość krytyczna dla α = 0,05 i 2 stopni swobody wynosi 5,99. Ponieważ 10,78 > 5,99, odrzucasz H₀. Dokładne p = 0,005.

Test chi-kwadrat zgodności: interpretacja

Wynik χ²(2, N = 200) = 10,78, p = 0,005 oznacza, że struktura miejsca zamieszkania w próbie różni się od zakładanej struktury regionu bardziej, niż tłumaczyłby to przypadek losowania. Na tym kończy się informacja z samego testu. Interpretację uzupełniasz o dwie rzeczy.

Które kategorie odbiegają: reszty

Reszta standaryzowana to (O - E) / √E, a reszta skorygowana dzieli różnicę dodatkowo przez √(1 - p_i), dzięki czemu przy prawdziwej H₀ ma w przybliżeniu rozkład normalny standardowy. Wartości powyżej 1,96 co do modułu wskazują kategorie, które wyraźnie odbiegają. Ponieważ sprawdzasz kilka kategorii naraz, ostrożniej przyjąć próg z poprawką na liczbę kategorii; przy trzech kategoriach wynosi on 2,39. Logikę takiej poprawki wyjaśnia wpis o poprawce Bonferroniego. W przykładzie obie skrajne reszty przekraczają ten próg: mieszkańców wsi jest w próbie za mało (31% wobec 40%), a mieszkańców dużych miast za dużo (40% wobec 30%). Mniejsze miasta są reprezentowane zgodnie z oczekiwaniem.

Jak duża jest niezgodność: w Cohena

Przy dużych próbach nawet drobne odchylenia dają istotny wynik, dlatego podaj wielkość efektu. Dla testu zgodności stosuje się w Cohena:

w = √(χ² / N)

W przykładzie w = √(10,78 / 200) = 0,23. Umowne progi Cohena to 0,1 (efekt mały), 0,3 (średni) i 0,5 (duży), więc niezgodność jest mała do umiarkowanej. Praktyczny wniosek dla pracy: próba nadreprezentuje mieszkańców dużych miast, co trzeba uwzględnić przy uogólnianiu wyników, a opis próby powinien to otwarcie przyznać.

Drugi przykład: czy wybory rozkładają się równo

Przykładowe dane: 120 studentów wskazało preferowaną formę zajęć ze statystyki. Hipoteza zerowa zakłada, że każda z czterech form jest wybierana równie często, czyli E = 120 / 4 = 30 w każdej kategorii.

Wynik: χ²(3, N = 120) = 16,00, p = 0,001, w = 0,37. Preferencje nie rozkładają się równo. Przy czterech kategoriach próg dla reszt z poprawką wynosi 2,50, więc wyraźnie częściej niż przy równym rozkładzie wybierano warsztaty, a rzadziej zajęcia hybrydowe.

Jak zapisać wynik w APA 7

Podaj symbol χ² ze stopniami swobody i liczebnością próby w nawiasie, wartość statystyki z dwoma miejscami po przecinku, dokładne p i wielkość efektu. Zaznacz też, skąd pochodzi rozkład oczekiwany. Gotowe zdanie dla pierwszego przykładu:

Strukturę miejsca zamieszkania w próbie porównano z założoną strukturą populacji regionu (40% wieś, 30% miasta do 100 tys. mieszkańców, 30% miasta większe) testem chi-kwadrat zgodności. Rozkład w próbie istotnie odbiegał od założonego, χ²(2, N = 200) = 10,78, p = 0,005, w = 0,23. Analiza reszt skorygowanych wykazała niedoreprezentowanie mieszkańców wsi (31% wobec 40%) i nadreprezentowanie mieszkańców miast powyżej 100 tys. (40% wobec 30%).

Więcej wzorów zapisu dla innych testów znajdziesz w poradniku jak zaraportować wynik testu w APA 7.

Chi-kwadrat zgodności a test niezależności

Oba testy używają tego samego wzoru i tej samej statystyki, ale odpowiadają na inne pytania. Różnica sprowadza się do tego, skąd biorą się liczności oczekiwane.

Jeśli masz dwie zmienne zebrane w badaniu, na przykład płeć i preferowaną formę zajęć, potrzebujesz testu niezależności. Jego wzór, regułę Cochrana dla tabel i V Cramera opisujemy we wpisie test chi-kwadrat niezależności: założenia i interpretacja. Gdy zmienna ma tylko dwie kategorie, test zgodności sprowadza się do testu dla jednej proporcji, na przykład czy odsetek odpowiedzi „tak” różni się od 50%.

Test chi-kwadrat zgodności w SPSS, jamovi i Excelu

• SPSS: Analyze > Nonparametric Tests > Legacy Dialogs > Chi-square. Przenieś zmienną do listy, w polu Expected Values zostaw All categories equal albo wybierz Values i dodawaj oczekiwane wartości lub proporcje w kolejności kodów kategorii (od najniższego). W tabeli Test Statistics znajdziesz Chi-Square, df i Asymp. Sig.
• jamovi: Analyses > Frequencies > N Outcomes: χ² Goodness of fit. Domyślnie test zakłada równe proporcje; własne wpiszesz w sekcji Expected Proportions. Zaznacz Expected counts, żeby sprawdzić założenie o licznościach.
• Excel: funkcja CHI.TEST(zakres_rzeczywisty; zakres_przewidywany) zwraca od razu p. W pierwszym zakresie podajesz liczności obserwowane, w drugim oczekiwane (nie procenty). Dla jednej kolumny lub wiersza Excel przyjmuje df = k - 1, więc wynik jest poprawny tylko wtedy, gdy nie szacowałeś parametrów z danych.

Najczęstszy błąd w SPSS to podanie oczekiwanych proporcji w innej kolejności niż kody kategorii. Jeśli wieś ma kod 1, a duże miasta kod 3, pierwsza wartość w polu Values musi dotyczyć wsi.

Czy testem chi-kwadrat sprawdzać normalność?

Klasyczne podręczniki pokazują test chi-kwadrat zgodności jako sposób sprawdzenia, czy zmienna ilościowa ma rozkład normalny: dzielisz wyniki na przedziały, liczysz oczekiwane liczności z rozkładu normalnego i porównujesz. W pracy dyplomowej to słaby wybór. Wynik zależy od tego, jak ustalisz przedziały, a test ma małą moc przy typowych próbach. Do oceny normalności lepiej użyć testu Shapiro-Wilka razem z histogramem i wykresem kwantylowym, co opisujemy we wpisie jak sprawdzić normalność rozkładu.

Typowe błędy

• Użycie testu zgodności do porównania dwóch grup z badania zamiast testu niezależności na tabeli krzyżowej.
• Wpisanie procentów zamiast liczności. Test na procentach daje zupełnie inną wartość χ², bo zależy od N.
• Ustalenie proporcji oczekiwanych po obejrzeniu danych, na przykład tak, żeby wynik wyszedł nieistotny.
• Wniosek „próba jest reprezentatywna”, bo p > 0,05. Brak istotnej niezgodności w jednej cesze nie przesądza o reprezentatywności, zwłaszcza w małej próbie.
• Raport bez wskazania kategorii, które odbiegają, i bez wielkości efektu.
• Pytanie wielokrotnego wyboru potraktowane jak jedna zmienna, gdy ta sama osoba wpada do kilku kategorii.

Test zgodności to jedna z analiz, które pojawiają się przy opisie próby i analizie wyników ankiety. Jeśli chcesz porównać strukturę swojej próby z danymi o populacji i dostać gotową tabelę z opisem APA, opisz badanie w kreatorze wyceny, a dobór analiz zaproponuje system.

Najczęstsze pytania

Czym się różni test chi-kwadrat zgodności od testu niezależności?

Test zgodności dotyczy jednej zmiennej i porównuje jej rozkład z rozkładem założonym z góry. Test niezależności dotyczy dwóch zmiennych w tabeli krzyżowej, a liczności oczekiwane liczy z sum brzegowych. Wzór statystyki jest ten sam, różnią się pytanie, źródło liczności oczekiwanych i stopnie swobody.

Jak zinterpretować wynik testu chi-kwadrat zgodności?

Gdy p jest mniejsze od 0,05, rozkład w próbie różni się od zakładanego bardziej, niż wynikałoby z przypadku. Które kategorie odbiegają, pokazują reszty standaryzowane, a siłę niezgodności w Cohena. Gdy p jest większe od 0,05, nie masz podstaw do stwierdzenia niezgodności, co jednak nie dowodzi pełnej zgodności.

Ile wynoszą stopnie swobody w teście chi-kwadrat zgodności?

Liczba kategorii minus jeden, czyli df = k - 1. Jeśli parametry rozkładu oczekiwanego szacujesz z tych samych danych, odejmujesz dodatkowo liczbę oszacowanych parametrów.

Jak zrobić test chi-kwadrat zgodności w SPSS?

Wybierz Analyze, Nonparametric Tests, Legacy Dialogs, Chi-square. Przenieś zmienną do listy i w polu Expected Values zostaw równe proporcje albo wpisz własne wartości w kolejności kodów kategorii. Wynik odczytasz w tabeli Test Statistics.

Co zrobić, gdy liczności oczekiwane są mniejsze niż 5?

Połącz sąsiednie, merytorycznie podobne kategorie albo użyj dokładnego testu wielomianowego. Reguła Cochrana dopuszcza do 20% kategorii z licznością oczekiwaną poniżej 5, o ile żadna nie jest mniejsza od 1.