Test chi-kwadrat niezależności - do czego służy, założenia, wzór i interpretacja

Test chi-kwadrat to pierwszy wybór, gdy obie zmienne w hipotezie są kategorialne: płeć i preferowana forma zajęć, miejsce zamieszkania i korzystanie z porad dietetyka, oddział szpitalny i występowanie powikłań. W pracy magisterskiej pojawia się bardzo często, bo większość ankiet zawiera pytania z odpowiedziami do wyboru. Jednocześnie to test, przy którym recenzenci najczęściej łapią błędy: za małe liczności oczekiwane, brak miary siły związku albo wniosek „kobiety częściej wybierają X" bez sprawdzenia, która komórka tabeli naprawdę odpowiada za wynik.

Poniżej znajdziesz wzór, cały przykład policzony na przykładowych danych, zasady wyboru między testem chi-kwadrat a testem dokładnym Fishera oraz gotowy zapis wyniku w standardzie APA 7.

Do czego służy test chi-kwadrat niezależności

Test chi-kwadrat niezależności Pearsona sprawdza, czy rozkład jednej zmiennej kategorialnej zależy od kategorii drugiej. Hipoteza zerowa mówi, że zmienne są niezależne, czyli odsetki odpowiedzi są takie same w każdej grupie. Hipoteza alternatywna mówi, że gdzieś w tabeli rozkłady się różnią. Test nie bada średnich ani rang, tylko liczebności w komórkach tabeli krzyżowej.

Zmienne mogą być nominalne (płeć, kierunek studiów) albo porządkowe o kilku kategoriach (wykształcenie), przy czym test chi-kwadrat ignoruje porządek kategorii. Jeśli masz zmienną ilościową, na przykład wiek w latach, nie wrzucaj jej do tabeli krzyżowej bez potrzeby, bo tracisz informację. Rozróżnienie typów zmiennych dokładniej opisuje wpis o zmiennych nominalnych, porządkowych i ilościowych.

Istnieje też test chi-kwadrat zgodności (dla jednej zmiennej porównywanej z rozkładem teoretycznym), ale w pracach dyplomowych zdecydowanie częściej chodzi o wariant niezależności i o nim jest ten tekst.

Wzór testu chi-kwadrat i liczności oczekiwane

Test porównuje liczności obserwowane (O) z licznościami oczekiwanymi (E), czyli takimi, jakie wystąpiłyby, gdyby zmienne były niezależne. Liczność oczekiwaną dla komórki liczysz z sum brzegowych:

E = (suma wiersza × suma kolumny) / N
χ² = Σ (O - E)² / E
df = (liczba wierszy - 1) × (liczba kolumn - 1)

Każda komórka dokłada do statystyki swój „wkład": im bardziej liczność obserwowana odbiega od oczekiwanej, tym większy wkład. Suma wkładów to statystyka χ², którą porównuje się z rozkładem chi-kwadrat o odpowiedniej liczbie stopni swobody. Program liczy to za ciebie, ale znajomość wzoru przydaje się, gdy promotor zapyta, skąd wzięły się wartości oczekiwane w tabeli.

Przykład krok po kroku na przykładowych danych

Przykładowe dane: 160 studentów (100 kobiet i 60 mężczyzn) wskazało preferowaną formę zajęć. Hipoteza: preferowana forma zajęć zależy od płci. Tabela krzyżowa z licznościami obserwowanymi i odsetkami w wierszach:

Liczności oczekiwane przy założeniu niezależności liczysz ze wzoru. Dla kobiet wybierających zajęcia stacjonarne: 100 × 52 / 160 = 32,5. Cała tabela wartości oczekiwanych wygląda tak:

Wkład komórki „kobiety, online" wynosi (20 - 27,5)² / 27,5 = 2,05, a komórki „mężczyźni, online" (24 - 16,5)² / 16,5 = 3,41. Po zsumowaniu wszystkich sześciu wkładów otrzymujesz χ² = 8,20 przy df = (2 - 1) × (3 - 1) = 2. Odpowiada temu p = 0,017, więc odrzucasz hipotezę o niezależności: preferowana forma zajęć różni się między kobietami a mężczyznami. Najmniejsza liczność oczekiwana to 16,5, więc założenie o licznościach jest spełnione z dużym zapasem.

Założenia testu i reguła Cochrana

Test chi-kwadrat ma kilka warunków, które warto sprawdzić przed interpretacją wyniku:

• Obserwacje są niezależne: każda osoba trafia do dokładnie jednej komórki tabeli. Pytania wielokrotnego wyboru (zaznacz wszystkie pasujące) łamią to założenie.
• Dane to liczebności, a nie odsetki ani średnie. Do programu wprowadzasz surowe odpowiedzi albo liczby osób, nigdy procenty.
• Liczności oczekiwane (nie obserwowane) nie są zbyt małe, bo statystyka χ² ma rozkład chi-kwadrat tylko w przybliżeniu, a przybliżenie słabnie przy rzadkich komórkach.

Najczęściej cytowane kryterium pochodzi od Cochrana (1954). Dla tabel o więcej niż jednym stopniu swobody uznał on, że jeśli tylko nieliczne liczności oczekiwane są mniejsze od 5 (mniej więcej jedna komórka na pięć), dopuszczalna jest minimalna liczność oczekiwana równa 1. W podręcznikach zapisuje się to zwykle jako regułę: nie więcej niż 20% komórek z licznością oczekiwaną poniżej 5 i żadna komórka poniżej 1. Dla tabeli 2×2 Cochran zalecał test dokładny Fishera, gdy N jest mniejsze od 20 albo gdy N mieści się między 20 a 40, a najmniejsza liczność oczekiwana jest mniejsza od 5.

SPSS i jamovi podają pod tabelą informację w rodzaju „0 komórek (0%) ma liczność oczekiwaną mniejszą niż 5". To zdanie przepisz do pracy, bo jest bezpośrednim dowodem sprawdzenia założenia. Gdy reguła nie jest spełniona w większej tabeli, masz dwie drogi: połączyć merytorycznie podobne kategorie (na przykład „raczej nie" i „zdecydowanie nie") albo użyć testu dokładnego, który część programów liczy także dla tabel większych niż 2×2.

Tabela 2×2 i test dokładny Fishera

Tabela 2×2 to szczególny przypadek: ma jeden stopień swobody, a programy podają dla niej kilka wariantów wyniku. Zobacz drugi przykład na przykładowych danych: 30 pacjentów po rehabilitacji, podział na ćwiczących regularnie i nieregularnie, a zmienna wynikowa to nawrót bólu w ciągu 3 miesięcy.

Liczność oczekiwana w komórce „nieregularne, nawrót tak" wynosi 10 × 9 / 30 = 3, czyli poniżej 5, a N = 30 mieści się w przedziale 20-40. Według Cochrana właściwy jest więc test Fishera. Wyniki różnych wariantów dla tych samych danych:

Klasyczny chi-kwadrat daje tu wyraźnie niższe p niż test dokładny, czyli przy małych licznościach przesadnie „ułatwia" uzyskanie istotności. Wniosek jest w tym przypadku ten sam, ale przy wynikach bliższych granicy 0,05 wybór testu decydowałby o odrzuceniu hipotezy. W pracy napisz wprost, dlaczego raportujesz test Fishera: „Ze względu na liczność oczekiwaną poniżej 5 zastosowano test dokładny Fishera".

Siła związku: V Cramera

Istotne p mówi tylko, że zależność prawdopodobnie istnieje. Jak jest silna, pokazuje wielkość efektu, a dla tabel krzyżowych standardem jest V Cramera:

V = √( χ² / (N × (k - 1)) ), gdzie k to mniejsza z liczb: wierszy lub kolumn

W przykładzie z formą zajęć V = √(8,20 / (160 × 1)) = 0,23. Dla tabeli 2×2 V Cramera jest równe wartości bezwzględnej współczynnika phi; w przykładzie z rehabilitacją phi = 0,46. Do interpretacji używa się zwykle umownych progów Cohena (1988) dla wskaźnika w: 0,10 mały, 0,30 średni, 0,50 duży efekt. Przy tabelach, w których oba wymiary mają więcej niż dwie kategorie, progi dla V są niższe, więc nie przenoś ich mechanicznie. V = 0,23 w pierwszym przykładzie to związek słaby do umiarkowanego: płeć coś mówi o preferencjach, ale daleko jej do pełnego wyjaśnienia wyboru.

Reszty standaryzowane: gdzie leży zależność

Istotny wynik w tabeli większej niż 2×2 nie mówi, które komórki odpowiadają za różnicę. Do tego służą skorygowane reszty standaryzowane (w SPSS: „reszty standaryzowane skorygowane", w jamovi: „adjusted residuals"). Mają w przybliżeniu rozkład normalny standaryzowany, więc wartość powyżej 1,96 co do modułu wskazuje komórkę, w której liczność obserwowana istotnie odbiega od oczekiwanej.

Za wynik odpowiadają komórki „online": mężczyźni wybierali zajęcia zdalne częściej, a kobiety rzadziej, niż wynikałoby z niezależności. Przy sześciu komórkach ostrożniej jest zastosować poprawkę Bonferroniego, czyli porównać reszty z wartością krytyczną 2,64 zamiast 1,96. Komórki online (2,74) przekraczają także ten próg, natomiast zajęcia stacjonarne (1,92) nie przekraczają nawet progu 1,96. Dzięki temu możesz napisać konkretny wniosek zamiast ogólnikowego „płeć różnicuje preferencje".

Jak zapisać wynik testu chi-kwadrat w APA 7

Standard APA wymaga podania stopni swobody, liczebności próby, wartości statystyki, dokładnego p i miary efektu. Symbole piszesz kursywą. Przykładowy opis dla pierwszego przykładu:

Preferowana forma zajęć była zależna od płci, χ²(2, N = 160) = 8,20, p = 0,017, V = 0,23. Analiza skorygowanych reszt standaryzowanych wykazała, że mężczyźni częściej niż kobiety wybierali zajęcia online (40% wobec 20%), a w przypadku zajęć stacjonarnych i hybrydowych różnice nie były istotne.

Dla testu Fishera zapis może wyglądać tak: „Nawrót bólu występował częściej u osób ćwiczących nieregularnie (6 z 10) niż regularnie (3 z 20), dokładny test Fishera, p = 0,030, φ = 0,46". Tabelę krzyżową z licznościami i odsetkami umieść w pracy przed opisem wyniku. Więcej szczegółów formatowania znajdziesz we wpisach jak zaraportować wynik testu w APA 7 oraz jak zbudować tabelę wyników.

Typowe błędy w pracach dyplomowych

• Sprawdzanie liczności obserwowanych zamiast oczekiwanych. Komórka z obserwowaną liczbą 3 może mieć oczekiwaną 6 i wtedy wszystko jest w porządku.
• Liczenie testu na procentach zamiast na liczbach osób. Wynik wychodzi wtedy zupełnie inny i nieprawdziwy.
• Pytania wielokrotnego wyboru wrzucone do jednej tabeli, w której ta sama osoba występuje kilka razy.
• Raport samego p bez V Cramera i bez wskazania, które komórki odpowiadają za zależność.
• Kilkanaście tabel 5×5 z rzadkimi komórkami, w których połowa wartości oczekiwanych jest mniejsza od 5. Rozwiązaniem jest łączenie kategorii jeszcze przed analizą, zgodnie z logiką pytania.
• Interpretacja zależności jako przyczynowości. Test pokazuje współwystępowanie, nie wpływ.

Jeśli promotor zapyta, dlaczego wybrałeś chi-kwadrat, odpowiedź jest krótka: obie zmienne są kategorialne, obserwacje są niezależne, a liczności oczekiwane spełniają regułę Cochrana. Jeśli któregoś warunku brakuje, wskazujesz alternatywę: test Fishera, połączenie kategorii albo, dla zmiennej porządkowej z dwiema grupami, test U Manna-Whitneya.

Test chi-kwadrat w pracy magisterskiej: plan analizy

Najwygodniej zaplanować tabele krzyżowe już przy budowie ankiety: każda hipoteza o związku dwóch zmiennych kategorialnych to jedna tabela i jeden test. Jeśli nie wiesz, czy twoje pytania nadają się do chi-kwadrat, czy lepszy będzie inny test, sprawdź darmowy przewodnik „Który test wybrać?". Opis tabel krzyżowych w rozdziale wyników krok po kroku pokazuje też wpis o tym, jak opisać wyniki ankiety w pracy.

Tabele krzyżowe z testem chi-kwadrat, testem Fishera, V Cramera i resztami standaryzowanymi są częścią analizy wyników ankiety. Analizy wybierasz w kreatorze wyceny, a po opłaceniu wgrywasz plik w panelu i wskazujesz z listy kolumny do każdej analizy. Dostajesz raport z tabelami w standardzie APA, a liczby wylicza silnik statystyczny tymi samymi metodami co SPSS i R.

Najczęstsze pytania

Do czego służy test chi-kwadrat?

Test chi-kwadrat niezależności sprawdza, czy dwie zmienne kategorialne są ze sobą powiązane, na przykład czy płeć wiąże się z wyborem odpowiedzi w ankiecie. Porównuje liczności obserwowane w tabeli krzyżowej z licznościami, jakie wystąpiłyby przy braku związku. Nie służy do porównywania średnich.

Co zrobić, gdy liczności oczekiwane są mniejsze niż 5?

Jeśli dotyczy to więcej niż około 20% komórek albo którakolwiek komórka ma liczność oczekiwaną poniżej 1, wynik chi-kwadrat jest niewiarygodny. W tabeli 2×2 użyj testu dokładnego Fishera. W większej tabeli połącz merytorycznie podobne kategorie albo zastosuj test dokładny, jeśli program go oferuje.

Jaka jest różnica między testem chi-kwadrat a testem Fishera?

Test chi-kwadrat opiera się na przybliżeniu rozkładem chi-kwadrat, które działa dobrze przy dużych licznościach. Test Fishera liczy prawdopodobieństwo dokładnie, więc jest właściwy przy małych próbach i rzadkich komórkach. Przy dużych licznościach oba dają bardzo zbliżone wyniki.

Jak interpretować V Cramera?

V Cramera przyjmuje wartości od 0 do 1 i opisuje siłę związku, nie jego kierunek. Dla tabel 2×k często stosuje się umowne progi Cohena: 0,10 mały, 0,30 średni i 0,50 duży efekt. Progi są orientacyjne, a przy tabelach z większą liczbą kategorii w obu wymiarach powinny być niższe.

Czy test chi-kwadrat można stosować do skali Likerta?

Można, jeśli traktujesz odpowiedzi jako kategorie, ale test pominie ich uporządkowanie. Przy porównaniu dwóch grup na pojedynczej pozycji Likerta zwykle lepszy jest test U Manna-Whitneya. Przy rzadkich odpowiedziach skrajnych połącz kategorie przed analizą, aby spełnić regułę Cochrana.