V Cramera i współczynnik phi - siła związku w tabeli krzyżowej, progi i przykład

V Cramera i współczynnik phi to miary siły związku między dwiema zmiennymi nominalnymi, liczone na podstawie statystyki chi-kwadrat z tabeli krzyżowej. Przyjmują wartość 0, gdy zmienne są niezależne, i zbliżają się do 1, gdy jedna zmienna prawie jednoznacznie wyznacza drugą. Test chi-kwadrat mówi, czy związek jest istotny; V Cramera mówi, jak jest silny. W tym wpisie znajdziesz wzory obu współczynników, zasady interpretacji progów (które zależą od wymiaru tabeli), dwa przykłady liczbowe na przykładowych danych, korektę obciążenia V, ścieżki w SPSS i jamovi oraz gotowy zapis w APA 7.

Sam test omawiamy osobno we wpisie chi-kwadrat: kiedy i jakie założenia, a budowę tabeli i dobór odsetków w tekście tabela krzyżowa. Tutaj zajmujemy się tym, co dopisujesz po teście.

Po co miara siły, skoro jest chi-kwadrat

Wartość chi-kwadrat rośnie razem z liczebnością próby. Jeśli te same proporcje zaobserwujesz u dwa razy większej liczby osób, chi-kwadrat będzie dwa razy większe, a p znacznie mniejsze, choć związek jest dokładnie tak samo silny. Dlatego samo p nie mówi, czy związek jest praktycznie ważny. Phi i V Cramera dzielą chi-kwadrat przez N, dzięki czemu nie zależą od liczebności próby i dają się porównywać między badaniami. To po prostu miary wielkości efektu dla tabel krzyżowych.

Wzory: phi i V Cramera

φ = √(χ² / N)
V = √[χ² / (N · (k - 1))], gdzie k to mniejsza z liczb wierszy i kolumn

W tabeli 2×2 mamy k - 1 = 1, więc V jest równe wartości bezwzględnej phi. W tabelach większych phi może przekroczyć 1, dlatego nie nadaje się do nich; tam raportuje się V Cramera, który zawsze mieści się w przedziale od 0 do 1.

Phi ze znakiem w tabeli 2×2

Dla tabeli 2×2 z liczebnościami a, b (pierwszy wiersz) i c, d (drugi wiersz) phi można policzyć bezpośrednio:

φ = (ad - bc) / √[(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)]

Tak liczone phi, nazywane też współczynnikiem phi Yule'a, ma znak i jest równe korelacji Pearsona między dwiema zmiennymi zakodowanymi jako 0 i 1. Znak zależy jednak wyłącznie od tego, którą kategorię zakodujesz jako 1 i w jakiej kolejności ułożysz wiersze, więc kierunek opisuj zawsze odsetkami, nie znakiem. V Cramera jest z definicji nieujemny i nie ma kierunku.

Założenia i ograniczenia

• Dwie zmienne nominalne (albo porządkowe, z których świadomie rezygnujesz z porządku), każda osoba w jednej komórce tabeli.
• Niezależne obserwacje: nie stosuj ich do pomiarów przed i po u tych samych osób, do tego służy test McNemara.
• Liczebności oczekiwane jak przy teście chi-kwadrat: zwykle co najmniej 5 w większości komórek. Przy małych liczebnościach istotność sprawdź testem dokładnym Fishera, a phi i tak możesz podać jako miarę siły.
• Phi w tabeli 2×2 nie zawsze może osiągnąć 1. Jego maksimum zależy od rozkładów brzegowych: jeśli jedna zmienna dzieli próbę 60/40, a druga 32/68, phi nie przekroczy 0,56 nawet przy najsilniejszym możliwym związku.

Współczynnik phi: przykład dla tabeli 2×2

Przykładowe dane: 200 studentów (120 kobiet i 80 mężczyzn) odpowiedziało, czy w ciągu ostatniego roku korzystało z pomocy psychologicznej.

Test chi-kwadrat daje χ²(1, N = 200) = 5,53, p = 0,019. Stąd φ = √(5,53 / 200) = 0,17. Wersja ze wzoru na liczebnościach: (46 · 62 - 74 · 18) / √(120 · 80 · 64 · 136) = 1 520 / 9 141 = 0,17. Najmniejsza liczebność oczekiwana wynosi 25,6, więc założenia testu są spełnione. Iloraz szans wynosi 2,14: szansa skorzystania z pomocy była u kobiet ponad dwa razy większa niż u mężczyzn.

Interpretacja: związek płci z korzystaniem z pomocy psychologicznej jest istotny, ale słaby (φ = 0,17, według Cohena między efektem małym a średnim). Kobiety korzystały z pomocy częściej (38% wobec 22,5%).

Ta sama siła, inne p

Jeśli zachowasz dokładnie te same proporcje, a zmienisz tylko liczbę badanych, zobaczysz, czym różni się istotność od siły związku:

V Cramera: przykład dla tabeli 3×4

Przykładowe dane: 250 studentów trzech kierunków wskazało preferowaną formę zajęć.

Wynik: χ²(6, N = 250) = 16,07, p = 0,013. Tabela ma 3 wiersze i 4 kolumny, więc k - 1 = 2 i V = √[16,07 / (250 · 2)] = 0,18. Najmniejsza liczebność oczekiwana to 10,9.

Samo V nie mówi, gdzie leży związek. Pokazują to skorygowane reszty standaryzowane (w SPSS: Adjusted standardized residuals). Wartości powyżej 1,96 co do modułu wskazują komórki, w których liczebność wyraźnie odbiega od oczekiwanej. Tu są to studenci kierunku medycznego, którzy częściej wybierali zajęcia stacjonarne (reszta 3,60) i rzadziej online (-2,89), oraz studenci kierunku technicznego, którzy rzadziej wybierali zajęcia stacjonarne (-2,49). Przy 12 komórkach część osób stosuje ostrzejszy próg, np. z poprawką Bonferroniego.

V Cramera: interpretacja progów

Najczęściej cytowane progi 0,10, 0,30 i 0,50 pochodzą od Cohena (1988), ale dotyczą jego miary w, która dla tabeli 2×2 jest równa phi. Dla większych tabel V trzeba porównywać z progami podzielonymi przez √(k - 1). Przy tym samym związku V w dużej tabeli wychodzi liczbowo niżej, więc stosowanie progów dla 2×2 do tabeli 3×4 zaniża ocenę siły.

W przykładzie z tabelą 3×4 V = 0,18 leży między efektem małym (0,07) a średnim (0,21), bliżej średniego. Gdyby ocenić je progami dla tabeli 2×2, wyszedłby efekt mały. W internecie spotkasz też inne, „uniwersalne” skale (np. 0,1 słaby, 0,3 umiarkowany, 0,5 silny niezależnie od tabeli). Niezależnie od wyboru napisz w pracy, czyją skalą się posługujesz. Ogólne zasady słownego opisu siły związku omawiamy we wpisie jak interpretować współczynnik korelacji.

Korekta obciążenia V Cramera

V liczone ze wzoru ma tendencję do zawyżania siły związku w małych próbach i dużych tabelach, bo nawet przy pełnej niezależności zmiennych losowe wahania dają dodatnie chi-kwadrat. Bergsma (2013) zaproponował prostą poprawkę. W przykładach daje ona V = 0,15 zamiast 0,17 dla tabeli 2×2 i V = 0,14 zamiast 0,18 dla tabeli 3×4. Wersję skorygowaną liczy m.in. pakiet DescTools w R; SPSS i jamovi podają V bez korekty. Przy kilkuset osobach i małej tabeli różnica jest niewielka, przy kilkudziesięciu osobach i tabeli 4×5 warto ją podać obok zwykłego V.

Inne miary związku dla tabel krzyżowych

Jeśli obie zmienne mają naturalny porządek (np. wykształcenie i ocena na skali), V Cramera marnuje tę informację. Wtedy lepiej sprawdzi się tau Kendalla albo rho Spearmana. Jak rozpoznać poziom pomiaru, opisujemy w tekście o zmiennych nominalnych, porządkowych i ilościowych.

Phi a korelacje dla zmiennych dwuwartościowych

Ponieważ phi to korelacja Pearsona dwóch zmiennych zakodowanych 0 i 1, łatwo pomylić je z pokrewnymi współczynnikami. Gdy obie zmienne są dwuwartościowe (płeć, odpowiedź tak lub nie), liczysz phi. Gdy jedna jest dwuwartościowa, a druga ilościowa (np. płeć i wynik testu), liczysz korelację punktowo-dwuseryjną, która również jest zwykłym r Pearsona na zmiennej 0-1, a w praktyce odpowiada porównaniu średnich testem t. Gdy zmienna nominalna ma więcej kategorii, a druga jest ilościowa, właściwą miarą siły jest eta kwadrat z analizy wariancji, a nie V Cramera.

Przy zmiennych o wielu kategoriach i nielicznych odpowiedziach w części z nich rozważ łączenie kategorii przed analizą, ale tylko wtedy, gdy ma to sens merytoryczny (np. połączenie „raczej nie” i „zdecydowanie nie”). Rzadkie kategorie zawyżają V i łamią założenia testu chi-kwadrat.

Ile osób potrzeba, żeby wykryć związek

Planując badanie, możesz odwrócić rozumowanie: ile osób trzeba, aby test chi-kwadrat wykrył związek o określonej sile z mocą 80% przy poziomie istotności 0,05. Dla tabeli 2×2 (df = 1) i efektu średniego (w = 0,30, czyli φ = 0,30) wystarcza około 88 osób, a dla efektu małego (φ = 0,10) potrzeba już około 785. W tabeli 3×4 (df = 6) ten sam efekt średni w wymaga około 152 osób, bo większa tabela rozkłada informację na więcej komórek. Wniosek praktyczny: nie dziel zmiennych na wiele kategorii, jeśli masz niewiele obserwacji.

Jak opisać brak istotnego związku

Gdy p > 0,05, i tak podaj miarę siły. W przykładzie z tabelą 2×2, ale tylko dla 100 osób, zapis brzmiałby: „Nie stwierdzono istotnego związku płci z korzystaniem z pomocy psychologicznej, χ²(1, N = 100) = 2,77, p = 0,096, φ = 0,17”. Siła związku jest taka sama jak przy 200 osobach, więc w dyskusji uczciwie napisz, że próba mogła być za mała, by wykryć słaby związek, zamiast stwierdzać, że płeć „nie ma znaczenia”.

V Cramera w SPSS i jamovi

• SPSS: Analyze > Descriptive Statistics > Crosstabs, w Statistics zaznacz Chi-square oraz Phi and Cramer's V. W Cells dodaj odsetki wierszowe i Adjusted standardized residuals. Wynik pojawi się w tabeli Symmetric Measures: dla tabeli 2×2 zobaczysz phi ze znakiem i V, dla większych oba, ale raportujesz V.
• jamovi: Analyses > Frequencies > Contingency Tables > Independent Samples, w sekcji Statistics zaznacz χ² oraz Phi and Cramer's V.

Wartość p w tabeli Symmetric Measures to ta sama istotność co w teście chi-kwadrat. Nie raportuj jej jako osobnego, dodatkowego testu.

Jak zapisać V Cramera w APA 7

Podaj chi-kwadrat ze stopniami swobody i N, p, miarę siły oraz odsetki pokazujące kierunek:

Stwierdzono istotny związek między kierunkiem studiów a preferowaną formą zajęć, χ²(6, N = 250) = 16,07, p = 0,013, V = 0,18. Studenci kierunku medycznego częściej niż pozostali wybierali zajęcia stacjonarne (47,5% wobec 27,5% i 22,2%).

Kobiety istotnie częściej niż mężczyźni korzystały z pomocy psychologicznej (38% wobec 22,5%), χ²(1, N = 200) = 5,53, p = 0,019, φ = 0,17.

Typowe błędy

• Raportowanie phi dla tabeli większej niż 2×2.
• Ocena V z tabeli 3×4 progami 0,1/0,3/0,5 przeznaczonymi dla 2×2.
• Interpretowanie znaku phi jako kierunku bez sprawdzenia kodowania kategorii.
• Podawanie samego p bez miary siły, co przy dużych próbach zamienia drobne różnice w „wysoce istotne” wyniki.
• Brak odsetków: z samego V czytelnik nie dowie się, kto różni się od kogo.
• Liczenie V dla dwóch zmiennych porządkowych, gdy miara uwzględniająca porządek byłaby bardziej informatywna.

Tabele krzyżowe z testem chi-kwadrat lub testem dokładnym Fishera wchodzą w zakres wyliczenia automatycznego, które zamówisz w kreatorze wyceny.

Najczęstsze pytania

Jak interpretować V Cramera?

0 oznacza brak związku, 1 związek pełny. Progi zależą od wymiaru tabeli: dla 2×2 Cohen przyjmuje 0,10, 0,30 i 0,50 jako efekt mały, średni i duży, a dla tabeli 3×3 lub 3×4 odpowiednio 0,07, 0,21 i 0,35. Kierunek opisujesz odsetkami, bo V nie ma znaku.

Czym różni się phi od V Cramera?

Phi to √(χ²/N) i jest właściwe dla tabel 2×2, gdzie może mieć znak. V Cramera dzieli dodatkowo przez mniejszy wymiar tabeli minus 1, dzięki czemu mieści się w przedziale 0-1 dla tabel dowolnej wielkości. W tabeli 2×2 V jest równe wartości bezwzględnej phi.

Jaka wartość V Cramera oznacza silny związek?

W tabeli 2×2 według Cohena od około 0,50, w tabeli 3×3 lub 3×4 od około 0,35, a w tabeli 4×4 od około 0,29. W badaniach ankietowych wartości powyżej 0,3 zdarzają się rzadko, więc nawet V około 0,2 bywa wynikiem wartym uwagi.

Czy V Cramera może być istotne, gdy chi-kwadrat nie jest?

Nie. W SPSS istotność podana przy V to ta sama wartość p co w teście chi-kwadrat. V jest miarą siły, a nie osobnym testem.

Czy phi może być ujemne?

Tak, ale tylko w tabeli 2×2, gdy liczysz je ze wzoru na liczebnościach albo jako korelację zmiennych 0-1. Znak zależy od kodowania kategorii, dlatego kierunek związku opisuj odsetkami.