Korelacja tau Kendalla - tau b, tau c i porównanie ze Spearmanem

Tau Kendalla to współczynnik korelacji rang, który dobrze sprawdza się tam, gdzie korelacja Pearsona nie ma zastosowania, a rho Spearmana bywa kłopotliwe: przy małych próbach, zmiennych porządkowych o kilku kategoriach i dużej liczbie powtarzających się wartości. W tym wpisie znajdziesz logikę par zgodnych i niezgodnych, różnice między tau a, tau b i tau c, zasady wyboru między Kendallem a Spearmanem, pełny przykład na przykładowych danych z porównaniem obu współczynników oraz zapis wyniku w APA 7.

Czym jest korelacja rang Kendalla

Współczynnik zaproponował Maurice Kendall w 1938 roku. Zamiast liczyć różnice rang, jak robi to Spearman, Kendall porównuje ze sobą wszystkie możliwe pary osób. Para jest zgodna, gdy osoba z wyższą wartością jednej zmiennej ma też wyższą wartość drugiej. Para jest niezgodna, gdy wyższej wartości jednej zmiennej towarzyszy niższa wartość drugiej. Jeśli przeważają pary zgodne, związek jest dodatni, jeśli niezgodne, ujemny.

τ_a = (C - D) / [n(n - 1) / 2]

C to liczba par zgodnych, D liczba par niezgodnych, a n(n - 1)/2 to liczba wszystkich par. Ten wzór daje bardzo prostą interpretację: τ_a to różnica między prawdopodobieństwem, że losowo wybrana para będzie zgodna, a prawdopodobieństwem, że będzie niezgodna. Przy τ = 0,50 i braku remisów 75% par jest zgodnych, a 25% niezgodnych. Takiej intuicyjnej interpretacji nie ma ani r Pearsona, ani rho Spearmana.

Tau a, tau b i tau c: czym się różnią

Wszystkie trzy wersje mają ten sam licznik C - D. Różnią się mianownikiem, czyli tym, jak traktują pary z remisem (te same wartości jednej lub obu zmiennych).

• Tau a dzieli przez liczbę wszystkich par. Przy remisach nie może osiągnąć wartości 1 nawet przy idealnym związku, dlatego stosuje się je tylko dla danych bez powtórzeń wartości.
• Tau b, wprowadzone przez Kendalla w 1945 roku, koryguje mianownik o remisy w każdej zmiennej osobno: τ_b = (C - D) / √[(n₀ - n₁)(n₀ - n₂)], gdzie n₀ to liczba wszystkich par, a n₁ i n₂ to liczby par z remisem w pierwszej i drugiej zmiennej. Przy braku remisów tau b jest równe tau a. Tę wersję liczą domyślnie SPSS, jamovi, R i SciPy.
• Tau c (Stuarta, 1953) jest przeznaczone dla tabel krzyżowych, w których liczba wierszy różni się od liczby kolumn: τ_c = 2m(C - D) / [n²(m - 1)], gdzie m to mniejsza z liczb wierszy i kolumn. Dzięki temu współczynnik może osiągnąć ±1 także w tabeli prostokątnej, np. 2×5.

W pracach dyplomowych w zdecydowanej większości przypadków raportujesz tau b. Po tau c sięgasz, gdy dane masz w postaci tabeli krzyżowej o wyraźnie różnej liczbie kategorii, np. wykształcenie w trzech kategoriach i ocena na skali pięciostopniowej.

Tau Kendalla czy rho Spearmana

Oba współczynniki mierzą związek monotoniczny i oba opierają się na rangach, więc zwykle prowadzą do tych samych wniosków. Kiedy lepiej wybrać Kendalla:

• gdy próba jest mała (kilkanaście, kilkadziesiąt osób), bo rozkład tau szybko zbliża się do normalnego, a dla małych prób bez remisów łatwo policzyć p dokładne,
• gdy zmienne mają niewiele kategorii i dużo remisów, np. pojedyncze pozycje skali Likerta, poziom wykształcenia, stopień nasilenia objawu,
• gdy zależy Ci na interpretacji w kategoriach par zgodnych i niezgodnych,
• gdy w danych są wartości skrajne: Croux i Dehon (2010) wykazali, że oba współczynniki rangowe są odporne na pojedyncze obserwacje odstające, przy czym tau Kendalla wypada pod tym względem nieco korzystniej.

Spearman jest popularniejszy i łatwiej go porównać z wcześniejszymi badaniami, bo wiele publikacji raportuje właśnie rho. Szczegółowe porównanie Pearsona i Spearmana znajdziesz we wpisie korelacja Pearsona a Spearmana. O wyborze współczynnika decyduje przede wszystkim poziom pomiaru zmiennych, opisany w tekście o zmiennych nominalnych, porządkowych i ilościowych.

Jedna rzecz zaskakuje studentów najczęściej: tau ma zwykle mniejszą wartość bezwzględną niż rho dla tych samych danych. Dla rozkładu normalnego zależność jest znana dokładnie. Przy korelacji Pearsona 0,30 tau wynosi 0,19, a rho 0,29; przy 0,50 tau wynosi 0,33, a rho 0,48; przy 0,70 tau wynosi 0,49, a rho 0,68. Niższe tau nie oznacza więc słabszego związku, tylko inną skalę. Dlatego nie porównuj tau z progami opracowanymi dla r i nie zamieniaj współczynnika na inny po to, żeby „wyszło więcej”.

Tau Kendalla: przykład krok po kroku

Przykładowe dane: 16 pacjentów z bólem przewlekłym oceniło natężenie bólu w czterech kategoriach (1 = brak, 2 = łagodny, 3 = umiarkowany, 4 = silny) i jakość snu na skali od 1 (bardzo zła) do 5 (bardzo dobra). Obie zmienne są porządkowe, mają mało kategorii i wiele powtórzeń, więc to typowa sytuacja dla tau b. Dane w postaci tabeli krzyżowej (liczby pacjentów):

Z 16 pacjentów można utworzyć 16 · 15 / 2 = 120 par. Ich podział wygląda tak:

Par z remisem w bólu jest n₁ = 21 + 5 = 26, a w śnie n₂ = 19 + 5 = 24. Stąd:

τ_a = (6 - 69) / 120 = -0,525
τ_b = (6 - 69) / √[(120 - 26) · (120 - 24)] = -63 / 94,99 = -0,66
τ_c = 2 · 4 · (6 - 69) / (16² · 3) = -0,66

Test istotności dla tau b daje p = 0,002. Dla porównania na tych samych danych rho Spearmana wynosi -0,75, p < 0,001.

Wnioski z obu współczynników są identyczne: silny ujemny związek, im większy ból, tym gorsza jakość snu. Różnią się tylko liczby, zgodnie z tym, co pisaliśmy wyżej o skali tau i rho. Tau a jest wyraźnie niższe od tau b, bo prawie 40% par ma remis i tau a „traci” je w mianowniku.

Kiedy tau b i tau c się rozjeżdżają

W przykładzie tabela ma 4 wiersze i 5 kolumn, więc jest prawie kwadratowa i oba współczynniki są niemal równe. Inaczej wygląda tabela wyraźnie prostokątna. Jeśli te same dane ująć jako ból w dwóch kategoriach (brak lub łagodny wobec umiarkowany lub silny) i sen w pięciu, otrzymasz tau b = -0,64, ale tau c = -0,78, przy tym samym p = 0,007. Tau b w takiej tabeli nie może osiągnąć -1 nawet przy idealnym uporządkowaniu, a tau c usuwa to ograniczenie. Przy tabeli 2×5 lub 3×6 raportuj więc tau c i napisz, dlaczego.

Tau b Kendalla: interpretacja

Interpretacja ma trzy elementy. Znak mówi o kierunku: wartość ujemna oznacza, że wyższym wartościom jednej zmiennej towarzyszą niższe wartości drugiej. Wartość bezwzględna mówi o sile, przy czym tau jest z natury niższe od r i rho, więc progi opracowane dla korelacji Pearsona zawyżają ocenę słabości związku. Wartość p mówi, czy przy tej liczebności można odrzucić hipotezę o braku związku.

W przykładzie dobrze widać zaletę tau: wśród 75 par bez żadnego remisu 69 jest niezgodnych, a tylko 6 zgodnych. Ten stosunek opisuje osobny współczynnik gamma Goodmana-Kruskala, który ignoruje remisy całkowicie (tu γ = -0,84). Gamma bywa wyższa od tau b właśnie dlatego, że pomija remisy, więc nie wybieraj jej tylko z powodu wyższej wartości.

Jak w każdej korelacji, wynik nie dowodzi przyczynowości. Ból może pogarszać sen, ale słaby sen może też nasilać odczuwanie bólu, a obie zmienne mogą zależeć od trzeciej, np. od nasilenia choroby podstawowej. Wielkość związku warto opisywać obok p, o czym więcej we wpisie o wielkości efektu.

Jak zapisać tau Kendalla w APA 7

Podaj nazwę wersji (tau b lub tau c), wartość współczynnika, p i liczebność. Stopni swobody dla tau się nie podaje. Przykład:

Ze względu na porządkowy charakter obu zmiennych i dużą liczbę rang wiązanych związek natężenia bólu z jakością snu oceniono współczynnikiem tau b Kendalla. Natężenie bólu było silnie ujemnie związane z jakością snu, τ_b = -0,66, p = 0,002, N = 16: pacjenci z większym bólem oceniali swój sen gorzej.

Przy kilku zmiennych zbierz współczynniki w macierzy korelacji, a w nocie pod tabelą napisz, że są to współczynniki tau b Kendalla. Zasady formatowania takiej tabeli opisuje poradnik jak zbudować tabelę wyników w APA 7.

Tau Kendalla w SPSS i jamovi

• SPSS, korelacje: Analyze > Correlate > Bivariate, zaznacz Kendall's tau-b (można jednocześnie z Pearsonem i Spearmanem). Wynik pojawia się w tabeli Correlations razem z p i N.
• SPSS, tabele krzyżowe: Analyze > Descriptive Statistics > Crosstabs, w oknie Statistics w sekcji Ordinal zaznacz Kendall's tau-b, Kendall's tau-c, a w razie potrzeby Gamma i Somers' d. Tylko tutaj dostaniesz tau c. Wartość tau b jest taka sama jak w oknie korelacji, natomiast wartość p w tabelach krzyżowych jest liczona inną metodą przybliżoną i przy małych próbach może się nieco różnić.
• jamovi: Analyses > Regression > Correlation Matrix, w sekcji współczynników zaznacz Kendall's tau-b. Tau b można też dodać w tabelach krzyżowych (Frequencies > Contingency Tables), ale tau c nie ma w standardowym menu.

Wyliczenie automatyczne zamawiane przez kreator wyceny obejmuje korelacje Pearsona i Spearmana. Jeśli promotor wymaga tau Kendalla, analizę może przygotować statystyk w ramach indywidualnej wyceny. Gdy nie masz pewności, który współczynnik pasuje do Twoich zmiennych, sprawdź przewodnik „Który test wybrać?” w darmowych narzędziach.

Typowe błędy

• Raportowanie „tau Kendalla” bez wskazania wersji, choć tau a, tau b i tau c dają różne wartości.
• Ocena siły tau według progów przygotowanych dla r Pearsona, przez co związek wydaje się słabszy, niż jest.
• Liczenie obu współczynników, Kendalla i Spearmana, i raportowanie tego, który dał niższe p.
• Tau b w wyraźnie prostokątnej tabeli krzyżowej, gdzie właściwsze jest tau c.
• Stosowanie tau do zmiennych nominalnych o więcej niż dwóch kategoriach (np. kierunek studiów), które nie mają porządku. Dla nich właściwy jest test chi-kwadrat i V Cramera.
• Pisanie o wpływie jednej zmiennej na drugą na podstawie samej korelacji.

Najczęstsze pytania

Czym różni się tau b od tau c Kendalla?

Oba mają ten sam licznik (pary zgodne minus niezgodne), ale inny mianownik. Tau b koryguje wynik o remisy i jest właściwe dla tabel kwadratowych oraz danych surowych, a tau c (Stuarta) jest przeznaczone dla tabel krzyżowych o różnej liczbie wierszy i kolumn. W tabeli 2×5 tau c może być wyraźnie wyższe od tau b.

Kiedy wybrać tau Kendalla zamiast rho Spearmana?

Gdy próba jest mała, zmienne są porządkowe o kilku kategoriach i w danych jest dużo powtarzających się wartości. Oba współczynniki zwykle prowadzą do tych samych wniosków, a wybór uzasadniasz w metodologii przed analizą.

Dlaczego tau Kendalla jest niższe niż rho Spearmana?

To dwie różne skale. Przy tym samym związku tau ma zwykle mniejszą wartość bezwzględną, np. dla danych normalnych przy rho około 0,48 tau wynosi około 0,33. Niższe tau nie oznacza słabszego związku.

Jak interpretować tau b Kendalla?

Znak pokazuje kierunek związku, a wartość bezwzględna jego siłę: im bliżej 1, tym bardziej przeważają pary zgodne (albo niezgodne przy znaku ujemnym). Dodatkowo podajesz p i N. Nie oceniaj siły tau progami opracowanymi dla korelacji Pearsona.

Jak zapisać tau Kendalla w pracy?

Na przykład: τb = -0,66, p = 0,002, N = 16. Zawsze wskaż wersję współczynnika (tau b lub tau c) i krótko uzasadnij jego wybór poziomem pomiaru zmiennych.