Test Friedmana - kiedy go użyć, jak policzyć i zinterpretować

Test Friedmana przydaje się wtedy, gdy te same osoby zbadałeś co najmniej trzy razy: przed terapią, w trakcie i po niej, albo w trzech różnych warunkach. Jest nieparametrycznym odpowiednikiem analizy wariancji z powtarzanymi pomiarami i działa na rangach nadawanych osobno w obrębie każdej osoby. W tym wpisie znajdziesz hipotezy, wzór na statystykę chi-kwadrat Friedmana, W Kendalla jako wielkość efektu, uczciwe porównanie metod post hoc, pełny przykład na przykładowych danych i gotowy zapis w APA 7.

Czym jest test rang Friedmana

Test opisał ekonomista Milton Friedman w 1937 roku. Pomysł jest prosty: zamiast analizować surowe wyniki, dla każdej osoby porządkujesz jej pomiary od najniższego do najwyższego i nadajesz im rangi 1, 2, 3 (przy trzech pomiarach). Jeśli między momentami pomiaru nie ma systematycznej różnicy, każda ranga powinna trafiać do każdego pomiaru mniej więcej równie często, a sumy rang w kolumnach będą zbliżone. Jeśli natomiast u większości osób ostatni pomiar jest najniższy, jego suma rang będzie wyraźnie mniejsza od pozostałych.

W polskich materiałach spotkasz kilka nazw tej samej procedury: test Friedmana, test rang Friedmana, analiza wariancji Friedmana albo „test ANOVA Friedmana”. Ta ostatnia nazwa bierze się z angielskiego opisu Friedman's two-way analysis of variance by ranks, którego używa SPSS. Nie chodzi jednak o klasyczną ANOVA na średnich, tylko o test rangowy. Słowo „dwuczynnikowa” w nazwie oznacza, że w układzie danych są dwa wymiary: osoby (bloki) i warunki pomiaru, a nie że badasz dwa czynniki eksperymentalne.

Kiedy stosować test Friedmana

Test Friedmana wybierasz, gdy spełnione są jednocześnie trzy warunki:

• masz trzy lub więcej pomiarów tej samej zmiennej u tych samych osób (albo w dobranych blokach, np. trójkach rodzeństwa),
• zmienna jest co najmniej porządkowa, np. ocena bólu na skali 0-10, pojedyncza odpowiedź na skali Likerta, ranking preferencji,
• założenia analizy wariancji z powtarzanymi pomiarami są wyraźnie naruszone albo próba jest tak mała, że trudno je ocenić.

Jeśli pomiary są tylko dwa, właściwym testem jest test Wilcoxona dla par. Jeśli porównujesz trzy niezależne grupy osób, a nie trzy pomiary tych samych osób, potrzebujesz testu Kruskala-Wallisa. Pomylenie tych dwóch sytuacji to jeden z najczęstszych błędów w pracach: test Kruskala-Wallisa użyty do danych powtarzanych ignoruje to, że wyniki jednej osoby są ze sobą powiązane.

Założenia samego testu są skromne. Osoby (bloki) muszą być od siebie niezależne, a w obrębie osoby pomiary muszą dać się uporządkować. Test nie wymaga normalności ani sferyczności. Ceną jest mniejsza moc niż w ANOVA, gdy dane faktycznie spełniają założenia parametryczne, bo informacja o odległościach między wynikami ginie przy zamianie na rangi.

Test Friedmana: hipotezy

• H₀: rozkłady wyników we wszystkich momentach pomiaru są takie same, czyli w obrębie osób żaden pomiar nie jest systematycznie wyższy od innych,
• H₁: co najmniej jeden pomiar różni się systematycznie od pozostałych (ma wyższe lub niższe rangi).

W pracy możesz napisać prościej: „Zakłada się, że natężenie bólu nie zmienia się między trzema pomiarami (H₀) wobec hipotezy, że w co najmniej jednym pomiarze jest inne (H₁)”. Test jest z natury „wielokierunkowy”, podobnie jak ogólny test F w ANOVA. Istotny wynik nie mówi, które pomiary się różnią, do tego potrzebne są porównania post hoc.

Jak liczy się statystykę chi-kwadrat Friedmana

1. Ułóż dane w formacie szerokim: jedna osoba to jeden wiersz, każdy pomiar to osobna kolumna.
2. W każdym wierszu nadaj rangi od 1 do k (k to liczba pomiarów). Remisy w obrębie osoby dostają rangę średnią.
3. Zsumuj rangi w każdej kolumnie, otrzymasz sumy R_j.
4. Wstaw sumy do wzoru.

χ²_F = [12 / (n · k · (k + 1))] · Σ R_j² - 3 · n · (k + 1)
df = k - 1

Tu n to liczba osób, a k liczba pomiarów. Gdy w wierszach są remisy, programy dzielą wynik przez poprawkę C = 1 - Σ(t³ - t) / [n · (k³ - k)], gdzie t to liczba wyników w każdej grupie remisów. Przy kilkunastu osobach statystyka ma w przybliżeniu rozkład chi-kwadrat z k - 1 stopniami swobody i taką wartość p podaje SPSS czy jamovi. Przy bardzo małych próbach (np. 5 osób i 3 pomiary) przybliżenie bywa niedokładne, a niektóre programy oferują p dokładne.

Test Friedmana: przykład krok po kroku

Przykładowe dane: 12 pacjentów po urazie kolana oceniło natężenie bólu na skali NRS od 0 do 10 w trzech momentach: przed rehabilitacją (T0), po 2 tygodniach (T1) i po 6 tygodniach (T2). Pojedyncza ocena NRS to zmienna porządkowa, a grupa jest mała, dlatego wybieramy test Friedmana. W nawiasach podano rangi nadane w obrębie każdego pacjenta (1 = najniższy ból).

Sumy rang wynoszą 31,5 dla T0, 24,5 dla T1 i 16,0 dla T2 (razem 72 = 12 · 3 · 4 / 2). Podstawiając do wzoru, otrzymujesz χ²_F = [12 / (12 · 3 · 4)] · (31,5² + 24,5² + 16²) - 3 · 12 · 4 = 10,04. Czterech pacjentów ma remis dwóch pomiarów, poprawka wynosi C = 0,917, więc ostateczna wartość to 10,04 / 0,917 = 10,95.

Przy df = 2 wartość krytyczna dla α = 0,05 wynosi 5,99, a nasze 10,95 jest od niej wyraźnie wyższe. Dokładniej: p = 0,004. Odrzucasz H₀, natężenie bólu zmieniało się w czasie. Kierunek odczytujesz z median i średnich rang: ból był najwyższy przed rehabilitacją i najniższy po 6 tygodniach.

Wielkość efektu: W Kendalla

Standardową miarą wielkości efektu dla testu Friedmana jest współczynnik zgodności W Kendalla. Liczysz go wprost ze statystyki testu:

W = χ²_F / [n · (k - 1)]

W przykładzie W = 10,95 / (12 · 2) = 0,46. Współczynnik przyjmuje wartości od 0 do 1. Zero oznacza, że pacjenci „rangują” momenty pomiaru zupełnie różnie, a 1, że u każdego pacjenta kolejność jest identyczna. Tomczak i Tomczak (2014) wymieniają W jako zalecaną miarę efektu dla testu Friedmana. W poradnikach i programach często stosuje się umowne progi 0,1 / 0,3 / 0,5 (efekt mały, umiarkowany, duży), więc 0,46 to efekt umiarkowany, bliski dużemu. Podaj w pracy, z jakich progów korzystasz, bo nie są one jedną obowiązującą normą. Dlaczego bez miary efektu wynik jest niepełny, wyjaśniamy we wpisie o wielkości efektu.

Post hoc po teście Friedmana: którą metodę wybrać

Istotny wynik testu Friedmana mówi tylko, że gdzieś jest różnica. Aby wskazać pary pomiarów, wykonujesz porównania wielokrotne z poprawką na liczbę porównań, tak jak po klasycznej ANOVA (ta sama logika poprawek obowiązuje po ANOVA). W praktyce spotkasz trzy rodziny metod:

• testy Wilcoxona dla każdej pary pomiarów z poprawką Bonferroniego lub Holma, czyli rangowanie od nowa w każdej parze,
• testy oparte na średnich rangach z testu Friedmana: Nemenyi oraz wariant Dunna z poprawką Bonferroniego, który SPSS wykonuje automatycznie w nowszym oknie testów nieparametrycznych,
• test Conovera (w jamovi nazywany Durbin-Conover), który porównuje sumy rang z rozkładem t.

Metody nie są wymienne i potrafią dać różne wnioski na tych samych danych. Benavoli, Corani i Mangili (2016) pokazali, że w testach opartych na średnich rangach wynik dla pary A-B zależy od tego, jakie inne pomiary znalazły się w analizie, i zalecają porównania parami, których wynik zależy tylko od dwóch porównywanych warunków, np. test Wilcoxona. Z drugiej strony metody oparte na rangach z Friedmana są spójne z samym testem ogólnym. Wybór należy podjąć przed analizą i opisać w metodologii. Wyniki dla naszego przykładu:

Wszystkie metody zgadzają się co do różnicy T0-T2: po 6 tygodniach ból był wyraźnie niższy niż przed rehabilitacją. Przy pozostałych parach wnioski się rozjeżdżają. Wilcoxon z poprawką Holma uznaje za istotne wszystkie trzy różnice, Wilcoxon z bardziej zachowawczą poprawką Bonferroniego tylko T0-T2 (p skorygowane: 0,115, 0,019 i 0,052), a metoda Dunna z SPSS również tylko T0-T2. Test Nemenyiego daje tu p = 0,326, 0,004 i 0,192, czyli ten sam obraz co Dunn. Nie wybieraj metody po tym, jak zobaczysz, która „daje więcej gwiazdek”. Jeśli promotor nie narzuca rozwiązania, rozsądnym domyślnym wyborem są testy Wilcoxona z poprawką Holma, a przy pracy w SPSS raportowanie tego, co program liczy automatycznie, czyli Dunna z poprawką Bonferroniego, z wyraźną nazwą metody.

Dla porównań parami Wilcoxona wielkość efektu liczysz jak zwykle: r = |z| / √n, gdzie n to liczba pacjentów. W przykładzie r wynosi 0,60 dla T0-T1, 0,79 dla T0-T2 i 0,69 dla T1-T2.

Test Friedmana a ANOVA z powtarzanymi pomiarami

Gdy zmienna jest ilościowa (np. wynik sumaryczny skali), a reszty mają rozkład zbliżony do normalnego, mocniejszym wyborem jest ANOVA z powtarzanymi pomiarami. Analizuje ona średnie i wykorzystuje odległości między wynikami, ale wymaga sferyczności. Dla porównania ANOVA na tych samych przykładowych danych daje F(2, 22) = 12,59, p < 0,001 (test Mauchly'ego nie wskazał naruszenia sferyczności, p = 0,456), przy średnich 6,75, 6,00 i 5,00.

Wynik obu testów zwykle prowadzi do tego samego wniosku, ale nie zawsze. Test wybierasz na podstawie poziomu pomiaru i założeń, zanim zobaczysz p. Jeśli z powodu nienormalności przechodzisz na test Friedmana, napisz to w metodologii jednym zdaniem.

Jak opisać test Friedmana w APA 7

W raporcie podaj nazwę testu, χ² ze stopniami swobody i liczebnością, p, W Kendalla, mediany pomiarów oraz metodę post hoc z poprawką. Przykład dla naszych danych:

Do porównania natężenia bólu w trzech pomiarach zastosowano test Friedmana, ponieważ ocena NRS ma charakter porządkowy. Natężenie bólu różniło się istotnie między pomiarami, χ²(2, N = 12) = 10,95, p = 0,004, W = 0,46. Porównania post hoc testem Wilcoxona z poprawką Holma wykazały, że ból po 6 tygodniach (Mdn = 5,0) był niższy niż przed rehabilitacją (Mdn = 7,0), z = -2,74, p = 0,019, r = 0,79, i niższy niż po 2 tygodniach (Mdn = 6,0), z = -2,38, p = 0,035, r = 0,69. Różnica między pomiarem przed rehabilitacją a po 2 tygodniach również była istotna, z = -2,07, p = 0,038, r = 0,60.

Mediany, kwartyle i średnie rangi zbierz w tabeli. Więcej wzorów zapisu znajdziesz w poradniku jak zaraportować wynik testu w APA 7.

Test Friedmana w SPSS i jamovi

• SPSS, okno klasyczne: Analyze > Nonparametric Tests > Legacy Dialogs > K Related Samples. Przenieś trzy zmienne pomiarowe do listy testowanej, zaznacz Friedman, a jeśli chcesz od razu W, także Kendall's W. Porównań parami to okno nie liczy, więc wykonujesz osobno testy Wilcoxona dla par i sam nakładasz poprawkę.
• SPSS, nowsze okno: Analyze > Nonparametric Tests > Related Samples. Przy trzech lub więcej zmiennych program sam wybiera test Friedmana, a po dwukrotnym kliknięciu tabeli wynikowej w widoku Pairwise Comparisons pokazuje porównania metodą Dunna; kolumna Adj. Sig. zawiera p z poprawką Bonferroniego. To okno wymaga, aby zmienne miały w SPSS poziom pomiaru ustawiony na Scale.
• jamovi: Analyses > ANOVA, w sekcji nieparametrycznej Repeated Measures ANOVA - Friedman. Pomiary przenosisz do pola Measures, a porównania parami włączasz opcją Pairwise comparisons (Durbin-Conover). Wartości p w tej tabeli są podawane bez poprawki, więc korektę musisz nanieść samodzielnie.

Jeśli wahasz się, czy Twoje dane wymagają testu Friedmana, czy ANOVA, sprawdź przewodnik „Który test wybrać?” w darmowych narzędziach. W kreatorze wyceny opisujesz zmienne i hipotezy, a wyliczenie automatyczne obejmuje ANOVA z powtarzanymi pomiarami oraz test Wilcoxona dla dwóch pomiarów. Analizy spoza tej listy liczy indywidualnie statystyk po bezpłatnej wycenie, co opisujemy na stronie jak działa system.

Typowe błędy

• Użycie testu Kruskala-Wallisa do pomiarów powtarzanych u tych samych osób.
• Dane w formacie długim w SPSS, gdy okno Friedmana oczekuje osobnej kolumny dla każdego pomiaru.
• Zakończenie analizy na istotnym χ² bez porównań post hoc albo seria testów Wilcoxona bez poprawki.
• Brak nazwy metody post hoc, przez co czytelnik nie wie, skąd wzięły się skorygowane p.
• Raportowanie średnich i odchyleń standardowych zamiast median i średnich rang.
• Pominięcie W Kendalla, przez co wynik ogranicza się do samego p.

Najczęstsze pytania

Czym różni się test Friedmana od testu Kruskala-Wallisa?

Test Friedmana porównuje kilka pomiarów tych samych osób i nadaje rangi w obrębie każdej osoby. Test Kruskala-Wallisa porównuje kilka niezależnych grup i nadaje rangi wszystkim wynikom razem. Przy pomiarach powtarzanych zawsze wybierasz test Friedmana.

Jaki test post hoc po teście Friedmana?

Najczęściej stosuje się testy Wilcoxona dla każdej pary z poprawką Holma lub Bonferroniego albo test Dunna oparty na średnich rangach, który SPSS liczy automatycznie. Inne możliwości to test Nemenyiego i test Conovera. Metody mogą dać różne wnioski, dlatego wybierz jedną przed analizą i podaj jej nazwę w pracy.

Jak policzyć wielkość efektu w teście Friedmana?

Najprostszą miarą jest W Kendalla: W = χ² / [n(k - 1)], gdzie n to liczba osób, a k liczba pomiarów. W przyjmuje wartości od 0 do 1 i często interpretuje się je umownymi progami 0,1, 0,3 i 0,5. Dla porównań parami możesz dodatkowo podać r = |z| / √n.

Czy test Friedmana można zrobić dla dwóch pomiarów?

Technicznie tak, ale przy dwóch pomiarach właściwym i mocniejszym wyborem jest test Wilcoxona dla par. Test Friedmana dla k = 2 sprowadza się w praktyce do testu znaków, który ignoruje wielkość różnic.

Dlaczego test Friedmana jest istotny, a post hoc nie?

Test ogólny i porównania parami odpowiadają na inne pytania, a poprawka na wielokrotne porównania obniża moc każdego z nich. Przy małej próbie test ogólny może wskazać różnicę, a żadna para po korekcie nie przekroczy progu. Opisz wtedy wynik ogólny i kierunek zmian z median, bez przesądzania o konkretnej parze.