Regresja porządkowa - kiedy ją stosować, założenie proporcjonalnych szans i interpretacja

Regresja porządkowa (porządkowa regresja logistyczna, model proporcjonalnych szans) to model dla zmiennej zależnej, która ma kilka uporządkowanych kategorii, np. ból brak, łagodny, umiarkowany, silny albo odpowiedź na pojedynczej skali Likerta. Pokazuje, jak predyktory zmieniają szansę znalezienia się w wyższej kategorii, i wykorzystuje porządek kategorii, nie zakładając, że odstępy między nimi są równe.

To naturalne rozwinięcie regresji logistycznej: zamiast jednego podziału „tak/nie” model analizuje wszystkie podziały skali naraz. W tym wpisie znajdziesz zasadę działania modelu, przykład na przykładowych danych z interpretacją ilorazów szans i progów, sprawdzenie założenia proporcjonalnych szans, ocenę dopasowania oraz gotowy opis w APA 7.

Kiedy stosować regresję porządkową

Regresję porządkową wybierasz, gdy zmienna zależna jest porządkowa i ma niewiele kategorii, zwykle od 3 do 7. Typowe przykłady w pracach dyplomowych:

• natężenie bólu w kategoriach (brak, łagodny, umiarkowany, silny),
• pojedyncze pytanie na skali Likerta (od „zdecydowanie się nie zgadzam” do „zdecydowanie się zgadzam”),
• samoocena zdrowia (zła, przeciętna, dobra, bardzo dobra),
• stopień zaawansowania choroby lub poziom wykształcenia jako wynik.

Dlaczego nie regresja liniowa? Zakłada ona, że różnica między „brakiem bólu” a „łagodnym” jest taka sama jak między „umiarkowanym” a „silnym”, i może przewidywać wartości spoza skali (np. 4,6 na skali 1-4). Przy pięciu lub więcej kategoriach i rozkładzie zbliżonym do symetrycznego wyniki regresji liniowej bywają podobne, ale przy kilku kategoriach i skupieniu odpowiedzi na jednym końcu skali mogą wprowadzać w błąd. Regresja wielomianowa z kolei ignoruje porządek i szacuje osobny zestaw współczynników dla każdej kategorii, więc przy porządkowej zmiennej marnuje informację. Czym różnią się te typy zmiennych, opisuje wpis zmienne nominalne, porządkowe i ilościowe.

Jak działa model proporcjonalnych szans

Zmienna o czterech kategoriach daje trzy punkty podziału: „brak” vs wyższe, „brak lub łagodny” vs wyższe, „do umiarkowanego” vs „silny”. Dla każdego podziału model liczy logit skumulowanego prawdopodobieństwa, ale z tymi samymi współczynnikami predyktorów. Różnią się tylko progi (ang. thresholds, cut points):

logit[P(Y ≤ j)] = θ_j - (β₁X₁ + β₂X₂ + ... + β_kX_k), j = 1, ..., k - 1

θ_j to progi, czyli punkty na ukrytej ciągłej skali, w których odpowiedź „przeskakuje” do następnej kategorii. β to współczynniki predyktorów, wspólne dla wszystkich podziałów. Przy takim zapisie (stosowanym w SPSS, jamovi i funkcji polr w R) dodatnie β oznacza przesunięcie w stronę wyższych kategorii, a ujemne w stronę niższych. Założenie, że jedno β pasuje do wszystkich podziałów, to założenie proporcjonalnych szans, nazywane też założeniem równoległych linii. Model opisał McCullagh (1980).

Przykład: ból po operacji

Przykładowe dane: 200 pacjentów w pierwszej dobie po operacji jamy brzusznej. Zmienna zależna to natężenie bólu: brak (65 osób, 32,5%), łagodny (67, 33,5%), umiarkowany (47, 23,5%), silny (21, 10,5%). Predyktory: wiek (M = 52,27, SD = 14,44), rodzaj zabiegu (laparoskopowy = 1, n = 99; otwarty = 0, n = 101) i lęk przedoperacyjny na skali 20-80 pkt (M = 42,74, SD = 8,33).

Już z tabeli widać, że po zabiegu laparoskopowym ból częściej jest nieobecny lub łagodny. Regresja porządkowa pozwala to oszacować przy kontroli wieku i lęku.

Wyniki modelu

Progi wynoszą: θ₁ = 0,37 (brak | łagodny), θ₂ = 2,07 (łagodny | umiarkowany), θ₃ = 3,78 (umiarkowany | silny). Progów zwykle się nie interpretuje merytorycznie, bo odnoszą się do osoby z zerowymi wartościami wszystkich predyktorów (tutaj: zero lat i zero punktów lęku). Służą do liczenia przewidywanych prawdopodobieństw. W SPSS współczynniki predyktorów są w tabeli Parameter Estimates w wierszach Location, a progi w wierszach Threshold.

Regresja porządkowa: interpretacja ilorazów szans

Iloraz szans OR = e^B mówi, ile razy zmienia się szansa znalezienia się w wyższej kategorii (w każdym punkcie podziału) przy wzroście predyktora o jednostkę i stałych pozostałych predyktorach. SPSS nie podaje OR w PLUM, więc liczysz je sam: OR = exp(B), a granice przedziału ufności to exp(B ± 1,96 × SE).

• Zabieg laparoskopowy: OR = 0,28. Szansa silniejszego bólu (zamiast słabszego) jest po laparoskopii 0,28 raza taka jak po zabiegu otwartym, czyli około 3,6 raza mniejsza (1 / 0,28). Dotyczy to każdego podziału: szansy jakiegokolwiek bólu zamiast braku, bólu co najmniej umiarkowanego zamiast łagodnego lub braku i bólu silnego zamiast słabszego.
• Lęk przedoperacyjny: OR = 1,08 na punkt skali. Ponieważ punkt to mała jednostka, przelicz efekt na 10 pkt: exp(10 × 0,0815) = 2,26. Pacjent z lękiem wyższym o 10 pkt ma ponad dwukrotnie większą szansę wyższej kategorii bólu.
• Wiek: OR = 0,97 na rok, czyli exp(10 × (-0,030)) = 0,74 na 10 lat. Starsi pacjenci zgłaszają nieco słabszy ból; szansa wyższej kategorii spada o około 26% na każde 10 lat.

Tak jak w regresji logistycznej, iloraz szans to nie zmiana prawdopodobieństwa. Najbardziej czytelne dla odbiorcy są przewidywane prawdopodobieństwa kategorii dla typowych profili pacjentów (tu: 52 lata):

Przy przeciętnym lęku prawdopodobieństwo bólu umiarkowanego lub silnego wynosi 0,45 po zabiegu otwartym i 0,18 po laparoskopii. Taka tabela tłumaczy model lepiej niż sam iloraz szans i dobrze sprawdza się w dyskusji wyników.

Dopasowanie modelu i pseudo-R²

Ogólną istotność modelu ocenia test ilorazu wiarygodności, który porównuje model z predyktorami z modelem zawierającym tylko progi. Wartość -2 log-wiarygodności spadła z 523,44 do 472,72, więc χ²(3) = 50,73, p < 0,001 (w SPSS tabela Model Fitting Information).

Pseudo-R² wynoszą: Cox i Snell 0,22, Nagelkerke 0,24, McFadden 0,10. Tak jak w regresji logistycznej, nie są to odsetki wyjaśnionej wariancji, tylko miary względnej poprawy dopasowania. Raportuj jedną z nich z nazwą (najczęściej Nagelkerkego). Testy dobroci dopasowania Pearsona i dewiancji z tabeli Goodness-of-Fit traktuj ostrożnie, gdy w modelu są predyktory ilościowe: tworzą one wiele pustych komórek i SPSS ostrzega wtedy, że wyniki testów są niewiarygodne.

Założenie proporcjonalnych szans: jak je sprawdzić

Model zakłada, że efekt predyktora jest taki sam dla każdego podziału skali. Najprostszy sposób, żeby to zobaczyć, to policzyć osobne regresje logistyczne dla każdego podziału i porównać ilorazy szans:

Ilorazy szans są zbliżone dla wszystkich podziałów, więc jeden wspólny współczynnik je dobrze streszcza. Formalnie sprawdza to test Branta (1990): χ²(6) = 3,75, p = 0,710 dla całego modelu, a dla poszczególnych predyktorów p = 0,917 (wiek), p = 0,623 (zabieg) i p = 0,261 (lęk). Nieistotny wynik oznacza brak dowodów na złamanie założenia. SPSS zamiast testu Branta podaje test równoległości linii (Test of Parallel Lines, opcja w oknie Output), który sprawdza to samo założenie testem ilorazu wiarygodności dla wszystkich predyktorów łącznie.

Oba testy przy dużych próbach i wielu predyktorach często odrzucają założenie nawet przy drobnych, praktycznie nieważnych różnicach, a przy małych próbach mają niską moc. Dlatego oprócz p patrz na tabelę ilorazów szans dla poszczególnych podziałów. Gdy założenie jest wyraźnie złamane, masz kilka dróg:

• model częściowo proporcjonalnych szans, w którym tylko predyktor łamiący założenie ma różne współczynniki dla podziałów (np. pakiet VGAM lub ordinal w R),
• regresja wielomianowa, która rezygnuje z porządku kategorii,
• połączenie kategorii i regresja logistyczna dla jednego, merytorycznie uzasadnionego podziału (np. ból umiarkowany lub silny vs brak lub łagodny),
• opisanie różnic między podziałami jako wyniku samego w sobie, jeśli mają sens teoretyczny.

Pozostałe założenia

• Zmienna zależna rzeczywiście porządkowa, a obserwacje niezależne (każda osoba raz).
• Brak silnej współliniowości predyktorów. SPSS nie liczy VIF w regresji porządkowej, więc odczytaj go z regresji liniowej z tymi samymi predyktorami.
• Wystarczająca liczebność w każdej kategorii. Kategoria z kilkoma osobami daje niestabilne progi; często łączy się ją z sąsiednią. Nie ma jednej ustalonej reguły liczebności; ostrożnie można się kierować zasadą z regresji logistycznej, czyli około 10 osobami w najmniej licznej kategorii na każdy parametr predyktorów.
• Predyktory kategorialne kodowane jak w każdej regresji, przez zmienne zero-jedynkowe z określoną kategorią odniesienia.

Skala Likerta jako zmienna zależna

Najczęstsze pytanie studentów brzmi: czy odpowiedź na skali Likerta analizować regresją liniową czy porządkową. Rozstrzyga to, czym jest zmienna. Pojedyncze pytanie z pięcioma odpowiedziami to zmienna porządkowa i regresja porządkowa jest dla niej właściwym wyborem, zwłaszcza gdy odpowiedzi skupiają się przy jednym końcu skali. Suma lub średnia z kilkunastu pozycji (wynik całej skali) ma wiele wartości i zwykle traktuje się ją jak zmienną ilościową, więc stosuje się regresję wieloraką. Więcej o tym rozróżnieniu piszemy we wpisie o skali Likerta.

Regresja porządkowa w SPSS, jamovi i R

• SPSS: Analyze > Regression > Ordinal (procedura PLUM). Zmienne kategorialne wpisujesz w Factor(s), ilościowe i zero-jedynkowe w Covariate(s). W oknie Output zaznacz Test of parallel lines. Domyślna funkcja łącząca to Logit.
• jamovi: Analyses > Regression > Ordinal Outcomes; można od razu zaznaczyć ilorazy szans z przedziałami ufności.
• R: MASS::polr() lub ordinal::clm(), a test Branta funkcją brant::brant().

Zmienna zależna musi być zakodowana tak, by wyższy kod oznaczał wyższą kategorię (1 = brak, 4 = silny). Odwrotne kodowanie odwraca znaki wszystkich współczynników.

Jak opisać regresję porządkową w APA 7

W tabeli podaj B, SE, Wald (lub z), p, OR i 95% CI dla OR, a pod tabelą test modelu, pseudo-R² i wynik testu proporcjonalnych szans. Przykładowy opis:

W celu określenia czynników związanych z natężeniem bólu w pierwszej dobie po operacji przeprowadzono porządkową regresję logistyczną (model proporcjonalnych szans). Model był istotny statystycznie, χ²(3) = 50,73, p < 0,001, R² Nagelkerkego = 0,24, a założenie proporcjonalnych szans zostało spełnione (test Branta, χ²(6) = 3,75, p = 0,710). Pacjenci po zabiegu laparoskopowym mieli mniejszą szansę zgłaszania wyższej kategorii bólu niż pacjenci po zabiegu otwartym, OR = 0,28, 95% CI [0,16; 0,48], p < 0,001. Wyższy lęk przedoperacyjny wiązał się z większą szansą wyższej kategorii bólu, OR = 1,08 na punkt, 95% CI [1,05; 1,12], p < 0,001, a starszy wiek z mniejszą, OR = 0,97 na rok, 95% CI [0,95; 0,99], p = 0,001.

Regresja porządkowa a inne modele

Typowe błędy

• Pominięcie testu proporcjonalnych szans albo brak informacji o nim w pracy.
• Interpretowanie OR jako zmiany prawdopodobieństwa konkretnej kategorii.
• Interpretowanie progów jak współczynników predyktorów.
• Zostawienie kategorii z 2-3 osobami, która destabilizuje model.
• Pomylenie konwencji znaku: w niektórych programach (np. SAS przy ustawieniach domyślnych) model jest zapisany z plusem przed β, więc przed opisem kierunku sprawdź, w którą stronę przesuwa wynik dodatni współczynnik.
• Raportowanie samych B bez ilorazów szans i przedziałów ufności.

Regresja porządkowa nie należy do analiz liczonych w wyliczeniu automatycznym, które obejmuje regresję liniową i logistyczną. Taki model przygotowuje statystyk indywidualnie, po bezpłatnej wycenie, z kontaktem przez czat w panelu; jak to wygląda i jak chronione są dane, opisuje strona jak działa serwis. Jeśli wystarczy Ci podział na dwie kategorie, regresję logistyczną zamówisz w kreatorze wyceny.

Najczęstsze pytania

Kiedy stosować regresję porządkową zamiast liniowej?

Gdy zmienna zależna ma kilka uporządkowanych kategorii, a odstępy między nimi nie muszą być równe, np. pojedyncze pytanie na skali Likerta albo natężenie bólu w kategoriach. Regresja liniowa zakładałaby równe odstępy i mogłaby przewidywać wartości spoza skali. Sumę wielu pozycji skali zwykle analizuje się regresją liniową.

Na czym polega założenie proporcjonalnych szans?

Model zakłada, że efekt każdego predyktora jest taki sam dla wszystkich podziałów skali, np. przy porównaniu braku bólu z bólem i bólu silnego ze słabszym. Sprawdza się je testem równoległości linii w SPSS albo testem Branta. Nieistotny wynik oznacza brak dowodów na złamanie założenia.

Co zrobić, gdy test równoległości linii jest istotny?

Porównaj ilorazy szans z osobnych regresji logistycznych dla każdego podziału, bo przy dużych próbach test reaguje na drobne różnice. Jeśli różnice są wyraźne, rozważ model częściowo proporcjonalnych szans, regresję wielomianową albo regresję logistyczną dla jednego uzasadnionego podziału.

Jak interpretować iloraz szans w regresji porządkowej?

OR mówi, ile razy zmienia się szansa znalezienia się w wyższej kategorii zmiennej zależnej przy wzroście predyktora o jednostkę. OR = 0,28 oznacza szansę około 3,6 raza mniejszą, a OR = 1,08 szansę większą o 8% na jednostkę. Dotyczy to każdego punktu podziału skali.

Co oznaczają progi (thresholds) w regresji porządkowej?

To punkty na ukrytej skali, w których odpowiedź przechodzi do następnej kategorii. Pełnią rolę podobną do stałych w osobnych regresjach logistycznych dla kolejnych podziałów. Zwykle się ich nie interpretuje, służą do liczenia przewidywanych prawdopodobieństw.